Предел функции в точке (определения). Односторонние пределы.
А. Односторонние пределы.
Определение. Число A называется левосторонним пределом функции в точке (пределом при , стремящемся к слева), если : выполнено неравенство |f(x) – a|<ε. Обозначение: f(x) (или .
Аналогично дается определение правостороннего предела функции (или f(b+0)).
Пример.
B. Предел функции по Гейне
Значение называется пределом функции в точке если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов
удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Предел функции по Коши
Значение называется пределом функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Окрестностное определение по Коши
Значение называется пределом функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в .
Вопрос №11
Свойства функций, имеющих предел
Пусть определена в
Свойство №1
Пусть имеет конечный предел в точке ограничена в некоторой окрестности этой точки .
Арифметические свойства функции, имеющей предел
Свойство №2
Пусть имеют конечные пределы А и В соответственно в точке также имеют пределы в точке , равные соответственно .
|
|
Свойство №3
Пусть определены в , и в ней выполняется и пусть .
Свойство №4(Теорема о сжатой переменной)
Пусть определены в некоторой , в ней выполняется и пусть .
Второй замечательный предел.
Доказательство второго замечательного предела:
Два случая:
1. X>0
;
.
Если , то .
, Ч.Т.Д.
2. Х<0. Пусть x= - t.
, Ч.Т.Д.
Если = t, то = e // вторая формулировка второго замечательного предела.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых.
Определение 1 (Бесконечно малая).
α(х) называется бесконечно малой в точке х , если lim α(х)=0, где х стремится к х
Определение 2 (Бесконечно большая).
f(х) называется бесконечно большой в точке х , если lim f(х)=∞, где х стремится к х
Свойства бесконечно малых.
Свойство 1
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.
Доказательство:
Пусть α (х) …α (х) – бесконечно малые в точке х
lim(α (х) + α (х) +…+ α (х)) = 0 (х стремится к 0)
Свойство 2
Произведение бесконечно малой в точке х на ограниченную в некоторой окрестности х функцию этой точки функции f(х) является бесконечно малой.
Доказательство:
Пусть α(х) – бесконечно малая в точке х , β(х) – определена в некоторой окрестности х .
|
|
Тогда существует М >0, такое, что в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство │β(х)│ ≤ М
│α(х) × β(х)│ = │α(х)│ × │β(х)│ <ε/М × М = ε
< ε/М ≤ М
15. Сравнение бесконечно малых.
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределенность .
Определения
Допустим, есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x).
§ Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
§ Если , то α — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Соответственно, α = o(β).
§ Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Они эквивалентны, если с = 1.
Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).
§ Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.
|
|
§ Теорема.
┘ α(х) ~ α1(x), а β(х) ~ β1(x) тогда
=
Доказательство.
= =
17. Свойства непрерывных в точке функций.
Функция f(x0), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точкех0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Свойства:1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.( h1(x)=f(x) +g(x), h2(x)=f(x)-g(x), h3(x)=f(x)*g(x)).
Данное утверждение верно следуя теоремам:
1.Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы при одной и той же базе :
Тогда функция h(x)=f(x) +g(x) также имеет предел при базе , и этот предел равен сумме пределов слагаемых.
2.Пусть функции f(x и g(x) имеют пределы при одной и той же базе :
Тогда функция h(x)=f(x) +g(x) также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:
2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.
Данное утверждение верно следуя теореме:
Пусть при одной и той же базе существуют пределы и , причём . Тогда функция определена на некотором окончании базы , существует предел , и , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.
|
|
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Данное утверждение верно следуя следствию к теореме о произведении представленную выше:
Пусть функции имеют при базе пределы, равные соответственно , и -- постоянные. Тогда
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 453; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!