Теорема Больцано — Вейерштрасса.
из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
пусть {Xn} ограниченная последовательность все её члены можно поместить в [a]b
[a ][b1 ][b2 ]b x
Разделим на равные части
Выделим один, содержащий бесконечное число членов последовательности
Выберем на этом отрезке 
ещё разделим [b1 ]b пополам и выберем тот, где бесконечное число последовательности выберем 
и так до [bn ]b, 
получим систему отрезков { 
}. 
( принадлежит всем отрезкам этой системы)
Оказывается что 
( 
[ 
| 
] 
) 
Если 
– неограниченно , то сходится либо к 
, либо к 
Наибольший предел 
- верхний предел.
Наименьший предел сходящейся последовательности - нижний предел
Пример 
(1)
{-1…-1} сходится к -1 = - 1
{0…0} сходится к 0 =0
{1…1} сходится к 1 =1
Критерий Коши сходимости последовательностей
Последовательность { xn } называют последовательностью Коши или фундаментальной, если
   0  N такой, что для n, m N: | xn - xm | 
| ( 4.4.1 ) |
( здесь центр интервала длиной 2 помещен в точку xm,m N , см. рис 4.4.1 )
Рис. 4.4.1
Теорема 4.4.1( Критерий Коши ) Для того, чтобы последовательность{ xn }сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.Необходимость. Пусть xn 
a при n 
. Тогда для любого 0 существует N, что для любых n, m Nвыполняется | xn - a | / 2, | xm - a | / 2. Рассмотрим цепочку неравенств
|
|
|
| xn - xm | = | ( xn - a ) + ( a - xm ) | 
| xn - a | + | xm - a |
/ 2 / 2
n≥N m≥N
что означает, что { xn } фундаментальна (| xn - xm | - условие фундаментальности).
Достаточность. По теореме Больцано-Вейерштрасса (из всякой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность) из последовательности { xn } можно выделить подпослеловательность, сходящуюся к некоторому числу a. Докажем, что и вся последовательность сходится к числу a.
Возьмем любое 0, тогда найдется номер N( из фундаментальности { xn } ), что для всех n, m N выполняется | xn - xm | . В виду сходимости подпоследовательности (из { xn })
xnk a при k по взятому 0 найдется номер k0, такой, что (номер элемента в подпоследовательности) nk0 N и | xnk0 - a | / 2 . Тогда для любого n N :
| xn - a | = | xn - xm + xm - a | =[ xm = xnk0 ] | xn - xm | + | xnk0 - a | ,
что означает сходимость последовательности { xn } к числу a.
/* Пояснения к последнему абзацу :)
Так как подпоследовательностьxnk сходится к a, начиная с некоторого номера N1 все члены xnkÎ { 
- окрестности точки a}, а так как последовательность xn- фундаментальная, то начиная с некоторого номера N2 все члены xnотстоят от членов xnk меньше, чем на . Следовательно, начиная с номера N = max (N1,N2) все члены последовательности xnÎ {e- окрестности точки a}, а это и означает, что 
= a, что и требовалось доказать. */
|
|
|
Замечание:в лекции в пункте «достаточность» Афонин говорил лишь о том, что | xn - a | при n≥N, но вдруг внезапно он попросит это доказать?
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 326; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!