Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.
Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:
+ связи:
В электростатике используются первое и третье уравнения, а в магнитостатике второе и четвертое.
Связь полей с потенциалами:
У. 8. Задачи 16-19
16.Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара . Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.
Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая напряженность поля равна разности напряженности электрического поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля зарядов, заполняющих при этом полость.
Поле внутри полости
поле внутри шара (но вне полости)
поле снаружи шара
где - радиус-вектор, проведенный из центра шара к центру полости.
17. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.
Решение. Потенциал точечного заряда является решением уравнения
(1)
Представим и в виде разложений в интеграл Фурье:
(2)
Подставляя соотношения (2) в уравнение (1) и приравнивая в подынтегральных выражениях коэффициенты при , получим
.
18. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону:
Решение. .
|
|
19. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.
Решение. Предположив, что заряд расположен в начале координат, решим уравнения
Направим оси декартовой системы координат по главным осям тензора диэлектрической проницаемости. Тогда
Подставим соотношения (2) в уравнение (1):
Заменой уравнение приводится к виду
Здесь использовано свойство δ-функции:
Решение уравнения (4) имеет вид
где
Приближение линейного тока
Что бы рассчитать надо брать от каждого элементарного объёмчика площадку и интегрировать по всему току. Если размеры сечения проводника много меньше его длины, либо когда точка наблюдения сильно удалена, то неоднородностью тока в сечении можно пренебречь. На языке интегралов это пренебрежение сводится к:
Это есть приближение линейного тока, т.е. ток течёт по проводнику, сечение которого стремится к нулю. Тогда для потенциала имеем:
Если имеется система токов, то формулу можно обобщить:
У. 9. Задачи 20, 21
20. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностьюj.Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.
|
|
Решение. H=1/2
21. Показать, что постоянное однородное магнитное поле В можно описывать векторным потенциалом А= .
[§35.]Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла в среде:
Уравнения связи для однородной изотропной среды:
Будем рассматривать не магнитные материалы, т.е. .
Случай квазистационарных полей означает, что поля считаем в одних случаях стационарными, а в других случаях – не стационарными. Для квазистационарных полей:
1) , а отбрасываем, т.к.
2) - оставляем как есть.
Критерий «отбрасываемости»:
Если , то . Слагаемое . В гауссовой системе единиц имеет размерность как .
Составим отношение для сравниваемых слагаемых:
Это есть критерий или условие квазистационарности. И тогда:
Рассмотрим как упрощается :
Запишем закон сохранения заряда в форме уравнения непрерывности:
,
Используем (*), тогда:
, где
Частное решение этого уравнения:
|
|
Для проводников с высокой проводимостью мала, , где - период, тогда:
Но поле может и не меняться по гармоническому закону, а может меняться как угодно, тогда - время, за которое поле меняется существенно.
Тогда
, и
Т.е. заряды быстро рассасываются. Значит для квазистационарного случая
В итоге получаем для квазистационарного случая систему уравнений Максвелла:
В квазистационарных полях есть эффекты:
1)Скин-эффект – быстропеременное поле вытесняет на поверхность проводника заряды.
2)Токи Фуко – переменное магнитное поле создаёт электрическое поле.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 472; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!