Интегралы движения в методе Лагранжа.
Динамические переменные в методе Лагранжа – это обобщённые координаты и обобщённые скорости. Всего их 2n, они задают начальное состояние систем.
Интеграл движения – это функция динамических переменных и времени 
, сохраняющая своё значение при движении системы (в КП).
- постоянство означает, что полная производная по времени должна быть равна нулю:
При n=1 имеем:
, 
.
[§8.] Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
Рассмотрим замкнутую систему.
Замкнутая система материальных точек – это система точек, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с точками, не принадлежащими, данной системе.
1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
Это означает, что мы по временной оси начало отсчёта можем выбрать произвольно. Допустим, мы вели наблюдения в течение времени 
,этот отрезок времени можно на оси t взять в любом месте, процесс не изменится. Вследствие однородности времени для замкнутых систем функция Лагранжа явно не зависит от времени, т.е.
Найдём производную функции Лагранжа по времени:
Подставим второе уравнение в первое:
В силу уравнения движения Лагранжа:
Тогда:
- интеграл движения, но только для стационарных связей.
В случае многих степеней свободы:
В случае стационарных связей кинетическая энергия есть квадратичная форма скоростей.
|
|
|
- коэффициенты, имеющие не обязательно смысл массы.
В силу теоремы Эйлера об однородных функциях:
=const, т.е. реализуется скалярный закон сохранения энергии
Однородность пространства.
Пространство называется однородным, если уравнения движения (эволюции) системы не зависят от трансляции (переноса как целого) системы в пространстве.
Уравнения движения замкнутой системы инвариантны относительно пространственных трансляций системы как целого. В этом случае реализуется закон сохранения импульса:
или 
, 
, 
Для замкнутой системы:
, т.е реализуется векторный закон сохранения импульса системы.
Иногда системы, будучи не замкнутыми, допускают трансляции вдоль некоторых осей. Например, система в однородном поле силы тяжести, допускает трансляции, в плоскости ортогональной вектору напряжённости этого поля - 
- у поверхности Земли.
Изотропность пространства.
Уравнения движения замкнутой системы не изменяются при вращении системы как целого относительно любой оси. Другими словами, уравнения движения инвариантны относительно вращения вокруг любой оси. В этом случае реализуется закон сохранения момента импульса:
|
|
|
- момент импульса материальной точки a.
, т.е реализуется векторный закон сохранения момента импульса системы.
Для незамкнутой системы существуют поля, допускающие вращение системы как целого относительно некоторых осей.
Пример:
Если выбрать z вдоль , то систему можно вращать как целое вокруг z, в данном поле будет сохраняться проекция момента импульса на направление поля.
Рассмотрим теперь центральное поле. Например, гравитационное поле Земли (сферически симметричное).
Центр Земли – это центр поля тяготения. Вращение вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, не меняет уравнения движения.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1101; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!