Степенным рядом называется ряд вида
a(/0)+a(/1)x+a(/2)x(\2)+...+a(/n)*x(\n)+...=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) (1)
Постоянные a0, a1,a2, ... называются коэффициентами степенного ряда.
Придавая x различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися. Множество тех значений x при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой ряд сходится при x=0.
Очевидно, что частичная сумма степенного ряда Sn(x)=a0+a(/1)x+...+a(/n)*x(\n)
Является функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной x, определенной в области сходимости ряда.
S=S(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) или f(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n)
Докажем теорему, имеющее важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля.Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+… (*) сходится в точке x0<>0 , то он абсолютно сходится в интервале (-|x0|,|x0|) , т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию|x|<|x0|
Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+… (*) расходится при x=x1, то он расходится для всякого х, удовлетворяющем условию|x|>|x1|
Доказательство. Заметим, что вследствие сходимости ряда SUM(/n=1)(\inf)a(/n)x0(\n) его общий член стремится к нулю: a(/n)x(/0)(\n)->0; поэтому все члены этого ряда ограничены в своей совокупности, т.е. существует такое постоянное положительное число М, что при всяком n имеет место неравенство |a(/n)x(/0)(\n)|<M. Запишем ряд (*) так
|
|
a0+a1*x0(x/x0)+a2*x0(\2)*(x/x0)(\2)+..+an*x0(\n)*(x/x0)(\n)+..,
и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:
|a0|+|a1*x0|*|x/x0|+|a2*x0(\2)|*|x/x0|(\2)+..+|an*x0(\n)|*|x/x0|(\n)+..,
В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменателем |x/x0|:
M+M*|x/x0|+M*|x/x0|(\2)+..+M*|x/x0|(\2)+..
Если |x|<|x0|, то |x/x0|<1
и прогрессия сходится; поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана.
Несмотря на то, что|an*x(\n)|<|an*x0(\n)|, мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке x0 сходится абсолютно.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.
Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
23. –
Ряды Тейлора и Маклорена
|
|
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.
Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 322; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!