Необходимое условие равномерной сходимости
17.Область сходимости, множество значений переменного х, для которых функциональный ряд
сходится. Весьма простую форму О. с. имеет для степенных рядов. Если рассматривать их для действительных значений аргумента, то О. с. состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (см. Интервал сходимости), к которому могут присоединяться и его концевые точки (одна или обе), либо, наконец, совпадает со всей осью Ox. Если же рассматривать и комплексные значения аргумента, то О. с. степенного ряда состоит либо из одной точки, либо из внутренности некоторого круга (круга сходимости), к которой могут присоединяться также точки окружности этого круга, либо из всей плоскости комплексного аргумента. Ряды других видов могут иметь более сложные О. с. Например, для рядов по Лежандра многочленам в комплексной области О. с. является внутренность эллипса с фокусами в точках —1 и 1.
О. с. определяется также и для других видов предельных процессов. Так, под О. с. несобственного интеграла, зависящего от параметра, понимают множество значений этого параметра, при которых данный несобственный интеграл сходится.
18.Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.
|
|
|
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд 
, имеющий радиус сходимости R > 0:
Функция 
является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой
Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство
Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:
Признак Вейерштрасса Рассмотрим ряд
Пусть существует последовательность 
такая, что для любого 
выполняется неравенство
Пусть, кроме того, ряд
сходится. Тогда ряд
сходится на множестве Х абсолютно и равномерно.
Доказательство Достаточно проверить справедливость критерия Коши, то есть доказать, что . Но последнее неравенство следует из того, что а для ряда выполняется критерий Коши, то есть .
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 306; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!