Формула Гаусса–Остроградского

Поверхностные интегралы

Рассмотрим открытое множество , точки которого будем обозначать . Пусть – дифференцируемая функция, .

Образ отображения представляет собой при некоторых дополнительных предположениях двухмерную поверхность в .

Рассмотрим векторы

;

Они будут касательными к поверхности в текущей точке.

Потребуем, чтобы матрица, состоящая из векторов и , имела ранг 2. Тогда – элемент площади поверхности, – единичные нормали в текущей точке поверхности.

Определение.Поверхность ориентируема, если в каждой точке поверхности можно определить нормаль так, чтобы нормали непрерывно изменялись от точки к точке. Такую поверхность также называют двухсторонней.

Формула Гаусса–Остроградского

Пусть в пространстве дана гладкая двусторонняя поверхность без края, ограничивающая область ,

Выберем в каждой точке нормаль , которая смотрит во внешность относительно . Таким образом, на задается ориентация.

Пусть задано векторное поле , которое определено в окрестности замыкания .

Определение.Дивергенцией гладкого векторного поля называется следующая функция:

Теорема (Формула Гаусса–Остроградского). В условиях, приведенных выше, справедлива следующая формула:

Пример 2.1.14.1. По формуле Гаусса–Остроградского вычислить поверхностный интеграл , где – полная поверхность цилиндра , .

Решение.

Определяем , , . Затем находим производные , , . По формуле Гаусса–Остроградского вместо исходного поверхностного интеграла по замкнутой поверхности получим тройной интеграл по области , ограниченной этой поверхностью:

Переходя к цилиндрическим координатам, найдем

Формула Стокса

Определение.Ротор (вихрь) векторного поля задается следующей формулой:

Формула Стокса

Пусть дана ориентированная полем единичных нормалей гладкая поверхность в , граница состоит из конечного числа гладких кривых.

Рассмотрим кривую (один из кусков границы). Зададим ориентацию так, чтобы направление обхода было согласовано с вектором нормали. Будем обходить кривую так, что если смотреть на поверхность с конца нормали, то обход границы осуществляется в том же направлении, в каком поворот вектора ортонормированного правильного базиса до совмещения с вектором меньше. Тогда ориентированная граница называется согласованно ориентированной с ориентацией поверхности. Зададим гладкое векторное поле в окрестности поверхности.