Замена переменных в кратных интегралах
Пусть – области в пространстве , – гладкое отображение. Через и будем обозначать точки в и соответственно. Возможна другая (покоординатная) запись.
,
,
…
,
, где – дифференцируемы.
Рассмотрим Якобиан отображения , определяемый по формуле
.
Его можно представить как коэффициент искажения объема.
Теорема (о замене переменных).Пусть , – измеримые множества. – взаимно однозначно на внутренних точках множества . Функции непрерывно дифференцируемы, а функция интегрируема. Тогда существует следующий интеграл и выполняется равенство
.
Полярные координаты
Введем на плоскости полярную систему координат, согласованную с заданной декартовой ( – полярная ось, – расстояние от точки до полюса , – угол между радиусом-вектором точки и полярной осью).
Данная система уравнений осуществляет преобразование полярных координат в декартовы. Правые части – непрерывно дифференцируемые функции с якобианом
.
Если ; , то .
Сферические координаты
Пусть заданы полярные координаты в плоскости , – угол между радиусом-вектором точки и плоскостью .
Если , то
.
Цилиндрические координаты
В плоскости вводим полярные координаты . Тогда координаты называются цилиндрическими.
Эти равенства связывают цилиндрические координаты с декартовыми координатами. Здесь – расстояние от проекции точки на плоскость до начала координат декартовой системы, а – угол между радиусом-вектором указанной проекции и осью . Якобиан преобразования легко вычисляется.
|
|
.
Если ; то
.
Пример 2.1.11.1. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если – I четверть круга .
Решение.
Полагая , имеем
.
Пример 2.1.11.2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: , .
Решение.
Данное тело ограничено снизу параболоидом , сверху плоскостью и проецируется в круг плоскости . Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид . Объем тела равен
.
Пример 2.1.11.3.Вычислить , если – шар .
Решение.
Перейдем к сферическим координатам. В области координаты , и изменяются так: , , . Следовательно,
.
2.1.12 Потенциальные векторные поля.
Критерии потенциального векторного поля
Потенциальные векторные поля
Пусть дана область в пространстве , и – векторное поле.
Определение. Векторное поле называется потенциальным в области , если существует функция такая, что
, , ,
при этом называют потенциалом векторного поля .
Теорема (характеризация потенциальных полей). Рассмотрим векторное поле в некоторой области . Следующие три условия эквивалентны:
|
|
1) Поле потенциально.
2) Интеграл от поля вдоль ориентированной кривой не зависит от начальной и конечной точек этой кривой.
3) Интеграл от векторного поля по любой замкнутой кривой равен нулю.
Пример 2.1.12.1. Показать, что поле является потенциальным, и найти потенциал этого поля.
Решение.
Данное векторное поле определено на всей плоскости , являющейся односвязной областью. Покажем, что , т.е. что поле безвихревое, а следовательно, и потенциальное. Действительно, так как
, , , то
.
Потенциал вычислим по формуле
,
т.е. .
Здесь в качестве начальной точки взята точка .
Формула Грина
Теорема (формула Грина). Пусть в области задано гладкое векторное поле , также задано множество в с кусочно-гладкой границей, которая правильно ориентирована, тогда справедлива следующая формула:
,
где , – координаты векторного поля.
Пример 2.1.13.1.Применяя формулу Грина, вычислить
, если – контур треугольника с вершинами , , , пробегаемый против хода часовой стрелки. Проверить результат непосредственным интегрированием.
Решение.
, . Находим . Таким образом,
, где область – треугольник . Уравнение прямой , уравнение . Вычислим двойной интеграл по данной области:
|
|
.
Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по контуру , состоящему из звеньев , , :
.
Уравнение ; следовательно , .
Уравнение ; следовательно , .
Уравнение ; значит , .
Таким образом,
.
Пример 2.1.13.2.Применяя формулу Грина, вычислить , где – окружность , пробегая против хода часовой стрелки.
Решение.
Здесь , . Тогда . Следовательно,
.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 824; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!