Декартово (прямое) произведение множеств

⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 18Следующая ⇒

Пусть и - некоторые множества и Располагая элементы и в определенном порядке, например, считая первым элементом, а вторым, мы получим упорядоченную пару Элемент называют первой координатой упорядоченной пары , а элемент - второй координатой. Две упорядоченные пары считаются равными тогда и только тогда, когда равны их первые и вторые координаты, т.е. тогда и только тогда, когда и

Некоторые объекты в математике, имеющие важное теоретическое и прикладное значение, являются упорядоченными парами.

Декартовым или прямым произведением множества на множество называется множество всех упорядочение пар , где . Обозначается прямое произведение символом . Таким образом

По определению полагают, что Декартово произведение множества на себя называют декартовым (или прямым) квадратом. При этом полагают Имеем:

Приведем теперь некоторые свойства, связывающие рассмотренные выше операции над множествами с операцией декартова произведения.

Дистрибутивность прямого произведения относительно объединения:

1).

Дистрибутивность прямого произведения относительно пересечения:

3).

Дистрибутивность прямого произведения относительно вычитания:

1).

Примеры.

1.Запишите в символической форме следующие множества:

а) множество всех положительных рациональных корней уравнения ;

б) множество всех целых корней уравнения

в) множество всех равносторонних треугольников;

г) множество всех прямых, параллельных данной прямой;

д) множество всех хорд окружности;

е) множество всех квадратных уравнений с вещественными коэффициентами, имеющими единицу своим корнем;

ж) множество всех окружностей радиуса 5, центры которых принадлежат прямой l;

Решение.

а)

б)

в)

г)

д) };

ж)

2. Найдите числовое множество такое, что

Решение.

3. В каких отношениях находятся между собой множества

Решение.Так как решением уравнения являются корни то множество имеет вид . Отсюда получаем , что

4. Пусть и – множество студентов двух групп, а – множество юношей, обучающихся в этих группах. Запишите с помощью включения следующие условия:

а) все юноши обучаются в первой группе;

б) в первой группе нет юношей;

в) вторая группа состоит из юношей;

г) все юноши обучаются в одной группе;

д) на курсе обучаются только юноши;

д) на курсе обучаются только девушки.

Решение.

а)

б)

в)

г)

д)

5. Докажите, что если , то . Существуют ли другие множества, кроме пустого, обладающие этим свойством?

Доказательство.Запись означает, что в множестве столько же или меньше элементов, чем в множестве . Так как в пустом множестве нет элементов, то и в тоже нет ни одного элемента. Поэтому будет являться пустым множеством

6. Укажите булеан множества , выписав все его элементы.

Решение. Мы видим, что число элементов булеана в случае, когда множество имеет 3 элемента, равно , т.е. . Выпишем все элементы, содержащие и не содержащие :

Случайно ли, что их число одинаково? Каждому множеству , содержащему , сопоставляется одно и только одно множество, не содержащее нуля, состоящее из всех таких элементов, входящих в , которые не входят в . Поэтому подмножеств, содержащих и не содержащих - одинаковое количество.

7. Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности:

Находим: , Отсюда

8. Решить систему:

Решение.Имеем: – множество решений системы, ТогдаM= M₁ÇM₂={3}.

9. Найдите дополнение множества до множества если:

а)

б)

в)

г)

Решение.

а)

б)

в)

г) .

10. Запишите с помощью операций над множествами выражения для множеств, соответствующих заштрихованным областям.

Решение.

11. Пусть универсальное множество состоит из элементов, его подмножества и соответственно из и элементов. Определите минимально возможное число элементов следующих множеств:

а) , б) , в) г) , д)

Решение.

а) Минимально возможное число элементов будет тогда, когда , т.е. элемента.

б) Минимально возможное число элементов будет тогда, когда т.е.

в) Минимально возможное число элементов будет тогда, когда и равно

г) Минимально возможное число элементов будет тогда, когда т.е. равно 0.

д) Минимально возможное число элементов будет тогда, когда т.е. и равно 0.

12. Пусть Зададим множество Х´Y перечислением его элементов.

РешениеИмеем Перемножим множества и в обратном порядке: Замечаем, что Следовательно, декартово произведение не обладает свойством коммутативности (переместительности).