Частные случаи, связанные с нечётностью по sin и cos.

Случай 1. Если функция в интеграле нечётная относительно косинуса, то есть , нужна замена: .

Докажем, что эта замена сводит к рационалной дроби относительно t.

Далее, , поэтому .

Таким образом, будет корень в нечётной степени, полученный при замене в самой функции, и ещё один - из дифференциала. А если корень нечётной степени или умножить, или поделить на ещё один, то в итоге получится корень в чётной степени, то есть просто целая степень от , т.е. какой-то многочлен от . Таким образом, эта замена сводит всё к целым степеням от .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Видим, что здесь функция нечётная относительно косинуса, то есть . Поэтому применим замену .

В этом случае , , .

= . Нечётная степень этого корня сократится с одним дополнительным корнем, который появился при пересчёте дифференциала, и станет чётная степень корня квадратного.

= = .

Знак модуля здесь вовсе не нужен, ведь с областью значений , так что заведомо выполняется .

= = .

Случай 2. Нечётная относительно sin функция в интеграле, то есть выполняется свойство . Тогда замена: .

В этом случае , , .

В результате тоже получается корень в чётной степени.

Случай 3. Если при смене знака и синуса, и косинуса знак итогового выражения по меняется 2 раза, то есть останется прежним.

Это означает, что суммарная степень чётна. Замена: .

, соответственно, .

Докажем, что все выражения с sin и cos сводятся к рациональной дроби.

ДОК 5 (Л2).

Доказать, что если функция нечётна относительно косинуса, замена сводит интеграл к рациональной дроби, а если то замена сводит интеграл к рациональной дроби.

Выразим синус и косинус. . Нужно выразить синус того угла, тангенс которого равен t. Рассмотрим прямоугольный треугольник, обозначим противолежащий и прилежащий катеты: t и 1. Но тогда по теореме Пифагора, гипотенуза равна . Подпишем её тоже.

А теперь можно выразить синус и косинус:

, .

Пример.Вычислить интеграл .

Решение.Степени обеих функций нечётны, суммарная степень чётна. То есть, это как раз тот случай, когда можно сделать замену .

= = =

= = = = .

Ответ. .

Интегралы, в которых проявляется взаимосвязь иррациональностей и тригонометрических функций .

Сейчас мы наичимся интегрировать выражения, содержащие , , или . Эти иррациональности сводятся к тригонометрическим функциям.

Случай 1. .

Замена: (или ).

Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать , ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .

Далее получается , а корни в этом выражении исчезают так: = = . Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.

Пример.Вычислить интеграл .

Здесь , потому что .

Замена . Корень при этом превратится в .

Итак, = = = .

после обратной замены, это .

Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен . Подпишем противолежащий катет и гипотенузу, и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора .