Доказательство формулы (ДОК 1) .

Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: = . Тогда = .

Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:

= .

Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.

Поэтому = .

Пример. Вычислить .

Решение. Если обозначить , , то при переходе к степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

Составим таблицу:

= , тогда получаем ответ: .

А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.

Пример. .

Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от к .

= = = .

(ДОК 2)

Выведем формулу вычисления интегралов . Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.

= = =

Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к .

= , то есть

, откуда выразим через :

вывели «рекурсивную» формулу , с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к , который равен .

Интегрирование рациональных дробей

Рассмотрим более подробно методы для интегралов типа , где - два многочлена каких-либо степеней.

Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь неправильная. Можно свести неправильную дробь к правильной, поделив на с остатком. В результате, появятся некоторые степенные слагаемые вне этой дроби, найти первообразные от них не проблема. Таким образом, мы должны научиться интегрировать именно правильные дроби.

Есть некоторые виды дробей, действия с которыми сводятся к тем методам, которые мы уже изучали, это так называемые «простейшие дроби» (у них знаменатель дальше нельзя разложить на множители).

заменой сводится к , а далее как для степенной.

= .

сводится к с помощью рекуррентной формулы, которую вывели ранее.

или

Выделить полный квадрат, и тогда всё сведётся к виду или .

Рассмотрим общий случай, когда степень знаменателя произвольна. Дробь при этом уже правильная, если не так, то мы отделили целую часть и проинтегрировали её отдельно.

Найдём корни знаменателя и разложим его на множители. При этом неразложимые множители могут остаться либо 1 либо 2 степени. Для любого многочлена 3 степени, уже есть хотя бы один действительный корень. Итак, в знаменателе могут быть только или .

Далее, можно разбить на сумму простейших дробей, где знаменатель каждой дроби - это один из множителей, на которые был разложен знаменатель . Например, если все корни различны, то

Называется метод неопределённых коэффициентов.

Если сумму простейших привести к общему знаменателю, то останется приравнять числители, и найти неопределённые коэффициенты.

Ситуация 1. Если все корни и различны.

Пример. .

Решение. = .

Приведём к общему знаменателю = .

Теперь приравняем числители в и .

, т.е.

, получается система уравнений:

решая её, находим .

Получается, что = =

= .

Ситуация 2. Если все корни , но среди них есть кратные.

Например, если два из 3 корней совпадают, дробь имеет такой вид: . Здесь нельзя записать и представить в виде , потому что, приводя к общему знаменателю такую сумму, мы получим в знаменателе только , а вовсе не . Таким образом, тот вариант метода разложения на простейшие, который был для различных корней, здесь приведёт к противоречию.

Разложение необходимо искать в таком виде:

Если корень кратности , то соответственно, надо включить в общую сумму таких слагаемых, где есть все степени от 1 до .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.Наличие множителя означает, что корень 0 кратности 2. Фактически даже можем рассматривать в таком виде: .

Сначала извлечём дробь из интеграла, и ищем разложение в виде:

Приводим к общему знаменателю.

Так как знаменатели равны, то осталось приравнять числители.

= ,

Тогда надо приравнять коэффициенты при каждой степени, получится , , .

То есть система уравнений на поиск трёх неопределённых коэффициентов:

решая эту систему, находим .

Тогда исходный интеграл распадается на сумму:

= =

= .

Ситуация 3.Если не все корни .

Возможно, что многочлен в знаменателе дроби не полностью разлагается на первые степени, так, могут присутствовать множители 2 степени типа или с отрицательным дискриминантом, которые далее нельзя разложить, потому что у них нет действительных корней (есть комплексные корни, но они ). В этом случае вместо пары слагаемых в разложение надо включать одно, вида , т.е. правильная дробь с максимально возможной степенью в числителе, должна содержать там линейную функцию. В некоторых примерах может потом оказаться, что , однако сразу искать в виде нельзя, иначе может получаться противоречие при приведении к общему знаменателю.

А если неразложимые множители 2 степени сами кратные, то надо включить в сумму несколько слагаемых, где степени по нарастающей:

+ + ... такие примеры довольно громоздки, на лекции вам их будет воспринимать сложно, они будут на практике.

Итак, мы рассмотрели все типы рациональных дробей. Других случаев нет, т.к. неделимых множителей 3-й степени уже быть не может, для многочлена 3 степени есть хотя бы один действительный корень. Пример на случай 3 будет в начале лекции 2.

ЛЕКЦИЯ № 2. 21.02.2018

Пример. Вычислить интеграл .