Интегрирование иррациональностей.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Если в подынтегральной функции присутствует корень какого-то порядка , то есть , то замена позволяет полностью избавиться от корней в выражении и свести к рациональной дроби.

Из следует , , то есть как видим, пересчёт дифференциала при замене тоже не добавляет ничего, кроме константы и целой степени от .

Рассмотрим сразу более общий случай: если функция содержит несколько корней разного порядка, т.е. .

Тогда нужна замена на корень порядка r = НОК (r₁,...,r_k).

r это наименьшее общее кратное всех порядков, которые там есть.

Именно тогда все корни перейдут в целые степени от . Так, к примеру, если , то НОК = 6. Замена: , тогда: , . Каждый корень становится целой степенью от :

= ,

= .

В общем случае степень равна , то есть, какого множителя не хватает до наименьшего общего кратного, такая степень от и получится.

Рассмотрим на примере, содержащем 3 разных корня.

Пример Вычислить интеграл .

НОК (2,3,5) = 30. Поэтому замена .

Тогда . Дополняющий множитель до НОК для числа 5 как раз и есть 6, ведь НОК = 30.

Другие корни пересчитываются аналогично:

Надо ещё пересчитать дифференциал для новой переменной :

Теперь подставим всё это в интеграл.

= = =

= = , и после обратной замены:

Если т.е. под корнем некоторое линейное выражение, то решается практически так же, замена , где r это тоже наименьшее общее кратное. Более сложная ситуация, когда под корнем разные линейные функции.

Например, и . Если один корень заменить на t , , то , тогда . Такие будут рассмотрены позже, они решаются с помощью тригонометрических функций.

Если интеграл вида (r - целое число), то замена сводят к рациональной дроби от t. Докажем этот факт:

(ДОК 3)

Доказать, что интеграл вида сводятся к рациональной дроби с помощью замены .

то есть выражено в виде рациональной дроби от , содержащей только целые степени.

Дифференциал тоже выразится в виде рациональной дроби:

= =

Интегрирование тригонометрических функций.

Рассматриваются интегралы типа . Если есть ещё и зависимость от или , то всё равно их можно записать через синус и косинус, поэтому можем считать, что вид именно такой: именно

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Замена называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она иногда приводит к громозким вычислениям, зато универсальна. При этой замене:

, , , .

(ДОК 4)

Доказать, что при замене синус и косинус преобразуются по следующим формулам: , .

Можно записать по формуле двойного угла, рассматриввая целый угол как удвоенный половинный:

= = чтобы всё выразилось через , которое равно желательно добиться того, чтобы синус и косинус половинного угла делились друг на друга. Для этого мы можем поделить и домножить на косинус ещё раз: