Рухомий репер кривої. Дериваційні формули. Теорема про матрицю дериваційних формул ортонормованого реперу.
В диф.геометрії для вивчення кривих використовують рухомий репер. Нехай 
= 
, 
. Нехай 
визначає точку М цієї кривої. Розглянемо ще 3 вектора: 
. Фігура 
назив-ся рухомим репером в т. М
Деріваційними формулами рухомого репера назив-ся формули,які виражають похідні від векторів репера через базисні вектори цього ж реперу,тобто 
’ 
= 
або
Теорема. Матриця дериваційних формул ортонормованого реперу кососиметрична.
Репер Френе кривої.Обчислення елементів реперу Френе.
Репером Френе кривої L у її точці M називають правий
декартів ортонормований репер {M,m1,m2.m3}, базисні вектори
якого визначають, відповідно, дотичну, головну нормаль і бінормаль
кривої L в точці M .
Щоб знайти координати векторів m1,m2.m3 репера Френе
кривої r =r(t) треба використати формули
. 
Довжина дуги кривої. Теорема про параметризацію кривої за допомогою довжини дуги.
Теорема. Будь-яка параметрична крива завжди може бути параметризована довжиною дуги і ця заміна являється допустимою.
длина дуги кривой в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой.
Натуральна параметризація кривої. Критерій натур-ї параметр-ї.
Параметризація кривої за допомогою довжини дуги, що
відлічується від деякої точки кривої, називається природною або
натуральною параметризацією.
Критерій натур-ї параметр-ї. Параметризація кривої є природною тоді й тільки
|
|
|
тоді, коли вектор швидкості кривої задовольняє умові 
º1.
Доведення:
Формули Френе. Означення та теорема.
Теорема. Деріваціонні формули репера Френе бірегулярної кривої параметризованою довжиною дуги мають вид:
Де 
-скалярні функції натурального
параметра s.
Означення кривини кривої. Теорема про кривину.
Нехай 
– крива класу 
, 
–фікс. Точкан на ній і М-достатньо близька до точка кривої, кривиною цієї кривої в т. назив. Границя відношення кута між дотичними в точках М і до довжини дуги 
при умові,що М 
. Позначається k( )=k( 
)
Теорема. Регулярна крива являється прямою або її частиною,тоді і лише тоді,коли в кожній її точці кривина дорівнює нулю.
Означення скруту кривої. Теорема про скрут.
Коефіцієнт 
у формулах Серре-Френе називається скрутом кривої . Очевидно, що абсолютний скрут 
є абсолютна велична вектора 
, тобто 
.
Теорема. Абсолютний скрут в точці М дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки М0, тобто 
, де 
-кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги 
. Скрут буде додатнім (від’ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.
|
|
|
Обчислення кривини кривої.
Обчислення скруту кривої.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 298; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!