Стична площина кривої. Теорема про стичну площину.

Векторна функція одного скалярного аргументу. Означення та приклади. Границя та неперервність векторної функції.

Векторною функцією (вектор – функцією ), заданою на множині , називається відображення, при якому кожному значенню відповідає вектор простору . .Постійний вектор називається границею векторної функції при , якщо для кожного існує таке, що для всіх , які задовольняють умові , виконується нерівність . Позначають: . Векторна функція називається неперервною в точці , якщо . Якщо векторна функція неперервна в усіх точках множини , то вона називається неперервною на цій множині.

Диференційованість векторної функції. Теорема про властивості диференційованих векторних функцій та наслідки з неї. Диференціювання складної векторної функції одного аргументу. Формула Тейлора.

Векторна функція називається диференційованою в точці , якщо при існує границя відношення .

(властивості диференційованих функцій). Якщо векторні функції , , і скалярна функція диференційовані в точці , то в цій точці диференційовані функції , , , , і мають місце рівності

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

(правило диференціювання складної функції). Нехай скалярна функція диференційована в точці , а векторна функція диференційована в точці . Тоді складна функція диференційована в точці , причому .

(формула Tейлора). Якщо векторна функція раз диференційована в точці й , то

де .

Поняття кривої. Способи завдання. Регулярність кривої. Особливі точки.

Параметризованой кривой наз. неп. отобр. γ :I→E_3,при котором ∀ tϵI соотв. т. MϵE₃ Кривой наз.годограф неп.векторной.фун-ии. Кривая задана при помощи вектор.функ-ии наз.гладкой кривой класса c^k, если имеет неп.производные до порядка k включительно. Задаются явно, неявно, параметрически. Кривая наз.регалярной, если для любой ее т.при переходящем выборе прямоугольной декартовой сист.координ. x,y,z она допускает в окр.этой точки задание уравнениями y=y(x), z=z(x). Особливі точки кривої - будь-яка точки кривої, що не є реґулярними.

Заміна параметра на кривій. Властивість допустимої заміни.

Замена параметра на кривой при помощи фан-ии τ=τ(t) наз.допустимой, если ∀t∈I ≠ -доп.замена параметра. Доп.замена параметра на кривой сохранаяет свойство регулярности.

Неявне завдання кривої. Теорема про неявно задану криву.

Кривая задана неявно, если её декартовы координаты удовлетворяют систему:

Теорема. Пусть 𝜔-мн-во т.простор.E₃удовл.сист.(1). М₀(x₀,y₀,z₀)∈𝜔 и для неё выполняется условие ,тогда сущ.окресность т.M₀ такая что пересечение -регул.параметризованная кривая.

Дотична пряма та нормальна площина неявно заданої кривої.

Пусть F и Ф заданы неявным уравнением кривой, диференцируемые в неособой т.М₀(x₀,y₀,z₀) этой кривой, тогда явл.направляющим вектором касательной прямой в т.М_0.

Нормальной плоскостью кривой в т.М₀ наз.плоскость проход.через эту точку и перпендикулярная касательной прямой в т.М_0.

Стична площина кривої. Теорема про стичну площину.

Стичною площиною просторової кривої в даній її точці називається граничне положення, до якого прагне січна площина ( , за умови, що точки M1 й M2 прагнуть по кривій до точки .

Теорема. Усяка крива в будь-якій своїй бірегулярній точці має стичну площину, нормальним вектором якої є вектор [ ’( ), ’’( )].

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 491; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!