Правило переходов. Критерий устойчивости Найквиста
Правило переходов
При сложной форме характеристики W(jω) могут возникнуть затруднения при определении числа ее оборотов вокруг критической точки (—1, j0). В этом случае для суждения об устойчивости удобно применять «правило переходов».
Назовем переход характеристики W(jω) через отрезок вещественной оси слева от точки (—1, j0), т. е. через отрезок (— ∞, —1) при возрастании ω положительным, если он происходит сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу вверх. Если характеристика W(jω) начинается на отрезке (— ∞, —1) при ω = 0 или заканчивается на нем при ω = ∞, то в этих случаях считают, что она совершает полперехода. (Рис. 3.15):
Рис. 3.15. Переходы характеристики W(jω)
Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы W(jω) через отрезок вещественной оси (—∞, — 1) при изменении частоты ω от 0 до оо была равна 
, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом:
1. Если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W( j) при изменении частоты ω от 0 до ∞ охватывала точку (—1, j0) в положительном направлении l / 2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
|
|
|
2. Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W( j) не охватывает точку (—1, j0).
3. Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристический полином такой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части. Если число нулевых корней ν, то АФЧХ при 0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается от положительной вещественной полуоси на угол 90°ν по часовой стрелке. Если есть пара чисто мнимых корней (в знаменателе частотной передаточной функции имеется множитель 33 2 2 1 T ), то АФЧХ при частоте i i 1/T дугой бесконечно большогорадиуса перемещается на угол 180° по часовой стрелке.
|
|
|
Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.
В инженерной практике широкое применение получил анализ устойчивости систем автоматического управления, основанный на применении логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Это обусловлено прежде всего тем, что построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем, особенно асимптотических логарифмических частотных характеристик, значительно проще, чем построение годографа амплитудно-фазовых характеристик.
Покажем, каким требованиям должны удовлетворять логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФХ) разомкнутой системы, при которых обеспечивалась бы устойчивость системы в замкнутом состоянии.
Как было показано выше, устойчивость связана с числом переходов амплитудно-фазовой характеристики W(jω) отрезка (— ∞ , —1) отрицательной вещественной полуоси. Когда амплитудно-фазовая характеристика W(jω) пересекает отрицательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из линий ± π(2i + 1), где i= 0, 1,2, 3, ... (рис.3.27).
Рис. 3.27. Определение устойчивости по ЛАХ и ЛФХ.
|
|
|
Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки (— 1, j0), т. е. если при этом модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы |W(jω)|<l и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрицательны, т. е. LmА(ω) = 20 lgW(jω)| < 0. Поэтому область отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости интереса не представляет.
Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (—∞, —1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФХ при LmА(ω) > 0 прямых ± π (2i+1) снизу вверх (точка 2 на рис. 3.27), а отрицательному переходу — сверху вниз (точка 1 на рис. 3.27).
Критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам может быть сформулирован следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазочастотной характеристикой прямых ± (2i + 1), i= 0,1, 2,..., во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна LmA(ω) > 0, была равна l/2 (l— число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).
|
|
|
На рис. 3.27 приведены для примера амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) и соответствующие ей ЛАХ и ЛФХ. Из анализа этих ЛАХ и ЛФХ видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ прямых — π при LmА(ω) > 0 равна нулю. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива (l = 0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом запасы устойчивости по амплитуде равны h1и h.2,а запас устойчивости по фазе равен φ.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 999; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!