ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Метод координат на плоскости
2. Прямая линия
Метод координат на плоскости
1. Декартовы прямоугольные координаты. Выберем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямыеОх и О у с указанными на них положительными направлениями. Прямые Ох и Оу называются координатными осями, точка их пересечения О — началом координат. Обычно полагают, что ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна относительно наблюдателя; положительное направление на Ох слева направо, на Оу — снизу вверх (рис. 1).
Возьмем теперь некоторую единицу масштаба, с помощью которой будут производиться все измерения на плоскости хОу.
Совокупность координатных осей Ох, Оу и выбранной единицы масштаба называется декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат на плоскости*.
Произвольной точке М плоскости поставим в соответствие два числа (рис. 1):
а) абсциссу х, равную расстоянию точки М от оси Оу, взятомусо знаком «+», если М лежит правее Оу, и со знаком « —», если М лежит левее Оу;
б) ординату у, равную расстоянию точки М от оси Ох, взятому со знаком «+», если М лежит выше Ох, и со знаком « —», если М лежит ниже Ох.
Абсцисса х и ордината у называются декартовыми прямоугольными (или кратко прямоугольными) координатами точки М. Обозначение М(х; у) означает: точка М с абсциссой, равной х, и ординатой, равной у.
* Декартова прямоугольная система координат носит имя французского математика, основателя аналитической геометрии Рене Декарта (1596-1650).
|
|
|
Отметим, что каждой точке плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у (ее координат). Верно и обратное: каждой паре действительных чисел х и у соответствует одна точка плоскости. Это значит, что на плоскости положение произвольнойточки М полностью определяется ее координатами х и у.
Координатные оси Ох и Оу разбивают плоскость на I, II, III и IV квадранты*(рис.2). Знаки координат точек в различных квадрантах указаны в таблице. При этом если точка М(ж; у) лежит на оси Оу, то х = 0; если М(х; у) лежит на оси Ох, то у = 0. На рисунке 2 построены точки M1(2;l), M2(-4;3), М3(-4;-2) и М4(0;-2).
Полярные координаты.
Зафиксируем на плоскости точку О и выходящую из нее полупрямую Ор, а также выберем единицу масштаба. Точка О называется полюсом, полупрямая Ор — полярной осью (рис. 3).
*) Иногда их также называют координатными углами.
Произвольной точке М плоскости поставим в соответствие два числа:
- полярный радиус r, равный расстоянию точки М от полюса О, измеренному выбранной единицей масштаба;
- полярный угол φ, равный углу между полярной осью Ор и полупрямой ОМ.
|
|
|
Полярный угол φ измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений φ ведется от Ор против движения (по движению) часовой стрелки. При этом обычно полагают, что -π<φ≤π.
Полюсу О соответствует полярный радиус r = О, полярный угол для него не определен.
Запись М(r; φ) означает: точка М с полярными координатами r и φ.
Будем считать начало координат О прямоугольной системы хОу одновременно полюсом О, а положительную часть оси Ох примем за полярную ось Ор (рис. 4).
Из рисунка 4 видно, что для точки М(х; у) (М(r; φ)) справедливы соотношения: 
и
Формулы (1) выражают прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Это можно доказать для любого расположения точки М на координатной плоскости. Формулы (2) выражаюттполярные координаты точки М через ее прямоугольные координаты и тоже верны при любом положении точки М.
Заметим, что 
дает два значения φ, так как -π<φ≤π. Поэтому для вычисления полярного угла φ точки М по ее прямоугольным координатам х и у предварительно выясняют, в каком квадранте лежит точка М.
Пример 1. Даны прямоугольные координаты точки А: х = 1, у = 1. Найти ее полярные координаты. По формулам (2) находим 
|
|
|
. Из двух значений 
выбираем 
, так как точка А лежит в первом квадранте. Итак, полярные координаты данной точки: 
Пример 2. Полярные координаты точки А таковы: 
Тогда по формулам (1) прямоугольные координаты этой точки будут:
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 527; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!