Обработка результатов измерений

 

После измерительной операции наступает следующая стадия экс­периментальной работы – математическая обработка результатов из­мерений. Все числа, получаемые при измерениях, являются прибли­женными. Точность измерений нельзя повысить математическими действиями над полученными результатами измерений. Учет большо­го числа значащих цифр без оценки их достоверности затрудняет вы­числения и оказывается бесполезным.

В качестве истинного, наиболее вероятного значения измеряемой величины обычно принимают среднее арифметическое измеренных значений:

= , (2.1)

где – значения измеренной величины; п – число измере­ний.

После расчета среднего арифметического значения измеряемой величины приступают к определению абсолютной и относительной ошибок измерений.

Абсолютное значение разности между средним арифметическим < > и каждым из отдельных результатов измерений называется абсо­лютной ошибкой отдельного измерения и обозначается

Δ .

Часто среднюю абсолютную ошибку определяют как среднее арифметическое абсолютных ошибок отдельных измерений, т. е.

= .

Абсолютная ошибка указывает два значения измеряемой величи­ны, между которыми заключено ее истинное значение. Например, в результате измерений и последующих вычислений диаметра проволо­ки получили:

<d> = 2,4мм и < > = ±0,1 мм.

Это означает, что истинное значение диаметра проволоки нахо­дится в интервале между 2,3 и 2,5 мм.

Можно уменьшить абсолютную ошибку и, следовательно, умень­шить интервал, в котором находится истинное значение измеряемой величины, но абсолютная ошибка не может быть равной нулю.

 

Для полной характеристики точности измерений рассчитывают относительную ошибку, равную отношению средней абсолютной ошибки к среднему результату измерений:

.

Если выполнено достаточно большое число измерений и результа­ты подчиняются закону статистического распределения, то вместо средней абсолютной ошибки определяется средняя квадратичная ошибка

.

Относительная ошибка в данном случае

.

Относительная ошибка– безразмерная величина. Ее часто выра­жают в процентах, для чего безразмерную величину надо умножить на 100 %.

Если необходимо учитывать как приборную (), так и случайную ( S ) ошибки, то полная абсолютная ошибка среднего значения изме­ренной величины

∆ = .

Если одна из данных ошибок меньше другой в 4 и более раз, то ее в окончательном результате можно не учитывать.

Для косвенных измерений, когда определяемая величина получа­ется путем вычислений по известной формуле, ошибки в простейших случаях находят следующим образом.

Если определяемая величина А связана с непосредственно изме­ряемыми величинами В и С выражением

A=BC,

то относительная ошибка величины А равна сумме относительных ошибок величин В и С, т. е.

E= ,

а абсолютная ошибка

А=ЕА.

Относительные ошибки складываются и при делении двух изме­ряемых величин.

Если же определяемая величина А равна сумме или разности изме­ряемых величин В и С, т. е. если

А = В ± С,

то абсолютная ошибка A равна сумме абсолютных ошибок В и С:

А = В + С.

Относительная ошибка в данном случае

Е = А/А.

Окончательный результат измерений обычно записывают в стан­дартной форме, удобной для анализа:

• вначале записывают название определяемой физической вели­чины;

• затем пишется буквенный символ определяемой величины, знак равенства и в скобках ее среднее значение плюс-минус средняя абсо­лютная ошибка, а за скобкой указывается единица измерения;

• отдельно записывают значение относительной ошибки в процен­тах;

• окончательные результаты заключаются в общую рамку.

Среднее значение, полная абсолютная ошибка и относительная ошибка округляются по следующим правилам:

• вначале округляют до одной или двух значащих цифр среднюю абсолютную ошибку (если старшая цифра больше 4, оставляют одну значащую цифру, в остальных случаях — две);

• затем округляют среднее значение до разряда, совпадающего с младшим разрядом абсолютной ошибки;

• относительную ошибку записывают в % с точностью до двух значащих цифр.

Например, запись окончательного результата определения объема цилиндрического тела имеет вид

	Объем цилиндрического тела V =(10,43 ±0,25) см³ E =2,4%

 

При совпадении двух результатов, т. е. при установлении их равен­ства, когда указаны полные абсолютные ошибки, удобно пользоваться следующим правилом определения наличия систематической ошиб­ки: если модуль разности средних значений двух измеренных величин не превышает суммы их абсолютных ошибок, сравниваемые величи­ны можно считать равными или совпадающими в пределах ошибок из­мерений. В противном случае данные величины считаются неравны­ми или несовпадающими. При таком сравнении в пределах указанных ошибок, если измеренная величина не совпадает, например, с таблич­ной (более точной), можно говорить о наличии в измерениях система­тической ошибки.

Рассмотрим два характерных примера решения простейших задач на определение ошибки измерений.

Пример 1. При измерении периода колебаний маятника были по­лучены следующие результаты: T = 3,1; T = 3,2; T ₃ = 3,0; T = 3,5; T ₅ = 3,3; T ₆ = 3,2 с. Определить среднюю квадратичную ошибку перио­да, относительную ошибку и представить окончательный результат в стандартной форме.

Решение. Вначале находим среднее значение периода:

< Т> = (3,1 + 3,2 + 3,0 + 3,5 + 3,3 + 3,2)/6 = 3,21(6) 3,22 с.

Округление промежуточного результата произведено до трех зна­чащих цифр.

Далее по формуле

вычисляем абсолютные ошибки отдельных измерений (с):

= =0,12; = = 0,02;

= = 0,22; = = 0,28;

= = 0,08; = = 0,02.

Затем находим среднюю квадратичную ошибку среднего значения периода

= c.

Вычисляем относительную ошибку среднего значения периода:

0,0703 ·100 %/3,22 = 2,19 %.

В окончательном результате величину S_<T> округляем до одной значащей цифры (поскольку старшая значащая цифра равна 7), сред­нее значение периода – до разряда округленной величины S_<T>, т. е. до сотых долей, а относительную ошибку – до двух значащих цифр.

Период колебаний маятника T =(3,22±0,07) с

Ответ:

Пример 2. Равны ли в пределах ошибок измерений определяемое значение плотности жидкости и ее табличное значение , если

= (0,9567 ± 0,0003) г/см³;

= (0,9561 ±0,0001) г/см³?

Имеется ли систематическая ошибка при определении плотности?

Решение. Сумма абсолютных ошибок определенного в ре­зультате измерений и табличного значений плотности составляет 0,0004 г/см³. Эта сумма меньше разности по модулю их средних значе­ний, равной 0,0006 г/см³. Следовательно, данные результаты нельзя считать равными в пределах ошибок измерений. Так как , то в измерениях допущена систематическая ошибка, которая привела к завы­шенному результату по сравнению с табличным.

Ответ: значения плотности и в пределах ошибок измерений не равны; при измерении допущена систематическая ошибка.

Вопросы для самопроверки

· Назовите свойства материальных объектов, трудно поддаю­щиеся количественному описанию.

· Что называется измерением?

· Чем обусловливается невозможность выполнения абсолютно точных измерений?

· Как зависит точность измерений от чувствительности прибора?

· Определение плотности вещества относится к прямым или кос­венным измерениям?

· Что обычно принимают в качестве истинного значения измеряе­мой величины?

· Какие ошибки измерений различают в зависимости от причин, порождающих ошибки?

· Назовите два вида ошибок для оценки истинности измеряемой величины.

· Какова специфика грубых ошибок?

· Дайте краткую характеристику систематических ошибок.

· Каким образом устраняется систематическая ошибка?

· Какие факторы обусловливают случайные ошибки?

· Назовите основные следствия из нормального закона распреде­ления случайных ошибок.

· Что означает цифра класса точности прибора?

· Изменяется ли абсолютная ошибка прибора при отклонении стрелки?

· Для чего применяют нониусы и микрометрические винты?

· Какие минимальные и максимальные расстояния позволяют определить современные измерительные средства?

· На чем основан принцип работы электроизмерительных при­боров?

· Применяются ли электроизмерительные приборы для измере­ния неэлектрических величин?

· Назовите два основных способа электрических измерений.

· Как классифицируют электроизмерительные приборы по на­значению?

· Что такое чувствительность прибора?

· Назовите основные правила округления приближенных чисел.

· Как определяется наиболее вероятное значение измеряемой ве­личины?

· Дайте определение средней абсолютной ошибки.

· Как определяется средняя квадратичная ошибка?

· Что такое относительная ошибка?

· Как определяются абсолютная и относительная ошибки для простейших косвенных измерений?

· Сформулируйте правила округления окончательных результа­тов измерений.

· Приведите пример записи окончательного результата измере­ний.

· Как определяется наличие систематической ошибки в измере­ниях.

 

Задачи по разделу «Погрешности экспериментальных измерений»

 

1. Измерение длины сторон детали в форме прямоугольного па­раллелепипеда производилось штангенциркулем с точностью 0,1 мм; результаты измерений: 12,6, 15,3 и 18,7 мм. Определите объем детали. Окончательный результат запишите в стандартной форме с учетом аб­солютной и относительной ошибок, а также правил округления.

2. Чему равны абсолютные ошибки отдельных измерений и сред­няя квадратичная ошибка среднего значения величины А, если при ее измерении были получены следующие результаты: 38,21; 39,11; 37,98; 38,52; 39,32; 37,94; 37,09 с? Какую физическую величину представляет А?

3. Результаты измерений диаметра диска составляют 42,4; 42,6; 42,8; 42,7; 41,9; 41,8; 42,0 мм. Чему равна площадь диска? Ответ запи­шите в стандартной форме с учетом правил округления, абсолютной и относительной ошибок.

4. После округления получены следующие результаты измерений: А = (12,3 ± 0,2) с; В = (21,3 ± 0,4) мм; С = (832 ± 6) г. Чему равны от­носительные ошибки данных результатов? Какие физические величи­ны представляют А, В и С?

5. Масса тела составляет (64,2 ± 0,3) г, а его объем (148,2 ± 0,3) мм³. Найти плотность вещества тела, а также относительную и абсолют­ную ошибки определения плотности.

6. Определите среднюю квадратичную ошибку и относительную ошибку измерений величины А, если ее среднее значение и абсолют­ные ошибки отдельных измерений соответственно равны (г):

= 1150,3; =2,4; =1,8; = 0,8;

=1,5; = 1,1; = 2,1; = 1,9; = 2,0.

7. Класс точности прибора равен 1,5. Какова абсолютная ошибка измерений данным прибором, если вся шкала прибора содержит 100 делений, а цена деления 0,1 А.

8. Рассчитать абсолютные и относительные ошибки отдельных из­мерений величины А, если при ее измерении были получены следую­щие значения: 2,1; 2,3; 2,0; 2,4 и 2,2 с.

9. Какова относительная ошибка измерений прибором класса точ­ности 1,0 при отклонении стрелки на 10 делений, если вся шкала при­бора содержит 200 делений?

10. Чему равны абсолютные ошибки отдельных измерений и отно­сительная ошибка измерений величины А, если известны результаты измерений 230; 228; 232; 233; 235; 229 Н? Какую физическую величи­ну представляет A?

11. Величины А, В и С связаны между собой соотношением А = ВС, где В = (0,96 ± 0,04) Н и С = (1,6 ± 0,5) м. Рассчитать значе­ние А, его абсолютную и относительную ошибки и представить окон­чательный результат в стандартной форме с учетом правил округле­ния.

12. Величины А, В и С связаны соотношением А = В + С, где В = (8,53 ± 0,02) Дж и С = (30,7 ± 0,3) Дж. Рассчитать значение А и на­писать окончательный результат в стандартной форме. Какую физиче­скую величину представляет А?

13. Случайная или приборная ошибка преобладает в измерении ве­личины А, если результаты ее измерений равны: 100; 102; 92; 98; 114 с. Приборная ошибка равна 1 с.

14. При определении ускорения свободного падения получен ре­зультат = (9,82 ± 0,02) м/с². Табличное значение ускорения для дан­ной местности = (9,84 ± 0,01) м/с². Чему равны относитель­ные ошибки определения и ? Можно ли утверждать о наличии сис­тематической ошибки при определении ? Почему?

15. Стоит ли продолжать измерения диаметра проволоки микро­метром для получения более точного результата, если измеренные значения равны: 1,38; 1,39; 1,38 и 1,38 мм. Приборная ошибка — 0,01 мм. Чемуравна относительная приборная ошибка?

---

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 145; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!