Колебательные и волновые процессы

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 22Следующая ⇒

Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качание маятника часов, колебание струн музыкальных инструментов, приливы и отливы, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжения и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, в зависимости от этого различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако многие различные колебательные процессы можно описать одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.

Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Простейшим видом повторяющихся процессов являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Встречающиеся в природе и технике колебания часто по своему характеру близки к гармоническим. Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки) можно представить в виде сложения гармонических колебаний.

Колебания математического маятника близки к гармоническим. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити. Он совершает колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Гармоническое изменение величины s описывается уравнением ,

где – максимальное значение колеблющейся волны, т.е. амплитуда колебаний; – круговая (циклическая) частота; – начальная фаза колебании в момент времени ; – фаза колебании в момент времени (рис.1.1).

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени , называемый периодом колебаний, за который фаза колебания изменяется на , т.е.

, (1.1)

откуда . (1.2)

Величина, обратная периоду колебаний, , (1.3)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний.

Сравнивая (1.2) и (1.3), получим

В качестве наглядного примера рассмотрим механические колебания материальной точки. Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты от времени можно описать уравнением (1.1), где ,

. (1.4)

Запишем первую и вторую производные по времени от координаты х, определяющие соответственно скорость и ускорение:

, (1.5)

. (1.6)

Из этих уравнений видно, что и скорость , и ускорение материальной точки изменяются по гармоническому закону с одной и той же циклической частотой. Амплитуда скорости и ускорения соответственно равны и .Фаза скорости (1.5) отличается от фазы координаты на , а фаза ускорения на .

Сила , действующая на колеблющуюся материальную точку массой m, с учетом (1.4) и (1.6) определяется как .

Следовательно, сила, действующая на материальную точку, пропорциональна смещению точки из положения равновесия, направлена в противоположную сторону и поэтому называется возвращающей силой.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания,

. (1.7)

Потенциальная энергия материальной точки, движущейся по гармоническому закону под действием упругой силы F,

. (1.8)

Сложив (1.7) и (1.8), получим формулу для полной энергии:

Полная энергия остается постоянной, т.к. для гармонических колебаний справедлив закон сохранения механической энергии.

Колебания при небольшом отклонении материальной точки от положения равновесия называются малыми колебаниями. Можно показать, что период малых колебаний математического маятника

, (1.9)

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

Амплитуда свободных колебаний из-за потерь энергии системы с течением времени уменьшается, т.е. происходит затухание колебаний, которые обуславливаются трением и сопротивлением среды.

При затухании колебаний на тело, кроме возвращающей силы , действует сила трения F ₀, величина которой при небольших скоростях пропорциональна скорости , т.е. F= –r , где r – коэффициент сопротивления.

Уравнение движения при наличии силы сопротивления примет вид

На основании данного уравнения можно записать дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, например, для реального математического маятника, в виде

, (1.10)

где – коэффициент затухания ().

В случае малых затуханий в результате решения уравнения (1.10) получим , где – амплитуда затухающих колебаний; – начальная амплитуда.

Частота затухающих колебаний

. (1.11)

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним не применимо понятие периода частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода T как промежуток времени между двумя последующими максимальными или минимальными колеблющейся физические волны. (рис. 1.2).

Тогда с учетом формулы (1.2) период затухающих колебаний

Если A (t) и A (t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

называется логарифмическим декрементом затухания, N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.

Период T электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из емкости C, индуктивности L, активным сопротивлением которого можно пренебречь, определяется формулой .

Если активное сопротивление контура R не равно нулю, то электромагнитные колебания будут затухающими. При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону , если в начальный момент эта разность потенциалов максимальна. Здесь – коэффициент затухания. При колебания затухающие и .

Закон Ома для переменного тока

I _эф= U _эф /Z,

где I _эф и U _эф – эффективные значения силы и напряжения, связанными с их амплитудными значениями I ₀и U ₀ соотношениями I _эф и U _эф , где – полное сопротивление цепи. Если цепь содержит активное сопротивление R, емкость C и индуктивность L, соединенные последовательно, то

Мощность переменного тока I _эф U _эф , где – сдвиг фаз между током и напряжением.

При распространении незатухающих колебаний со скоростью вдоль некоторого напряжения, называемого лучом, смещения y любой точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на расстояний x, определяется уравнением бегущей волны:

где – длина волны; А – амплитуда волны; Т – период; – циклическая частота.

Скорость распространения волны .

Две точки, лежащие на луче на расстояниях х ₁и х ₂от источника колебаний, имеют разность фаз:

При интерференций волн максимум амплитуды соответствует условию

где (х ₂ – х ₁) – разность хода лучей. Минимум амплитуды определяется условием

При интерференции двух когерентных волн расстояние между возникающими на экране двумя смежными интерференционными полосами определяется формулой , где – расстояние от крана до источника света, – длина волны интерферирующих волн, – расстояние между источниками света (при этом ).

Условие усиления света при интерференции в плоскопараллельных пластинах в проходящем свете определяется по формуле

(k =0,1,2,3...),

где – толщина пластины; – показатель преломления; – угол преломления; – длина волны света.

Условие ослабления света: , (k =0,1,2,3...).

В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в направлениях, составляющих с нормалью к решетке угол , удовлетворяющий условию (при нормальном падении светы на решетку): , где – постоянная решетки; – угол дифракции; – порядок спектра.

Постоянная (или период) решетки , где – число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.

При отражении света от диэлектрика полная поляризация наступает при условии (закон Брюстера), где – угол падения луча, – показатель преломления диэлектрика.

Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор, определяется по формуле (закон Малюса), где – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора; – интенсивность света, прошедшего через поляризатор.

Задачи по разделу «Колебательные и волновые процессы»

1. Два маятника, длины которых различаются на 20 см, совершают колебания в одном и том же месте за некоторое время: один – 30, а другой – 35 колебаний. Определите длины обоих маятников.

2. Определите период гармонических колебаний материальной точки, если амплитуда колебаний – 1 см, а максимальная скорость – 33 см/с.

3. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармонические колебания с периодом 12 с и начальной фазой, равной 0, сместится от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды?

4. Тело массой 5 г совершает колебание, которое в системе СИ описывается уравнением . Найдите численные значения кинетической и потенциальной энергии через 20 с от начала колебаний. Чему равна полная энергия тела?

5. Амплитуда колебаний камертона за 15 с уменьшилась в 100 раз. Найдите коэффициент затухания и время релаксации колебаний.

6. Как изменится ход маятниковых часов на высоте 20 км над поверхностью Земли?

7. Часы с математическим маятником отрегулированы в Москве. Как изменится ход часов за сутки на экваторе? Ускорение силы тяжести в Москве , на экваторе .

8. Во сколько раз и как отличается период гармонических колебаний математического маятника на планете, масса и радиус которой в четыре раза больше, чем у Земли, от периода колебаний такого же маятника на Земле?

9. Космический корабль движется вдали от небесных тел. Как по периоду колебаний Т математического маятника длиной l, подвешенного в кабине корабля, определить ускорение корабля, сообщаемое ему работающими двигателями?

10. На какую волну настроен радиоприемник, если его приемный контур обладает самоиндукцией 1,5 мГн и емкостью 450 пФ?

11. Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найдите активное сопротивление R и индуктивность L, если известно, что мощность, поглощаемая в этой цепи, равна 404 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен 60 .

12. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно емкость 35 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и индуктивность 0,7 Гн. Найдите силу тока в цепи и падение напряжения на емкости, омическом сопротивлении и индуктивности.

13. Определите длину волны при частоте 200 Гц, если скорость распространения волн равна 340 м/с.

14. Определите скорость распространения волны, если источник, колеблющийся с периодом 2 мс, возбуждает в воде волны длиной 3 м.

15. Точки, находящиеся на одном луче и удаленные от источника колебаний на расстояние , колеблются с разностью фаз . Определите скорость распространения колебаний в данной среде, если период колебаний источника T =1 мс.

16. Определите расстояние между ближайшими точками бегущей волны, лежащими на одном луче, которые колеблются в одинаковых фазах, если скорость распространения волн равна , а частота составляет 100 Гц.

17. Уравнение колебаний вибратора , где х выражено в см. Считая волну плоской, определите смещение точки, расположенной на расстоянии 5,9 м от источника колебаний, через 0,1 с после начала колебаний при скорости распространения волны 200 м/с.

18. Определите длину стоячей волны, если расстояние между первым и третьим узлами равно 0,2 м.

19. Расстояние между соседними узлами стоячей волны, создаваемой камертоном в воздухе, равно 40 см. Определите частоту колебаний камертона. Скорость звука равна 340 м/с.

20. Два источника посылают когерентные волны в одинаковых фазах. При какой разности хода волн будет наблюдаться усиление колебаний? Периоды колебаний равны 0,1 с, скорость распространения волн в среде м/с.

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 44; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!