Решение задач с помощью дифференциальных уравнений

DC – поднормаль, AD – подкасательная

 

Дано:

точка (-1,-2) y(-1)=-2

поднормаль во всех точках=2 (DС=2)

 

Найти y=f(x)

 

1) из треугольника BDC

– дифференциальное уравнение

 

2)

домножим на dx

Шпаргалка с нужными формулами

разделим на y

проинтегрируем обе части

– общее решение

3) по начальным условиям y(-1)=-2.

Найдем частное решение

подставить значение точки

4+С

Частное решение:

 

17. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1 порядка (ЛДУ1п) называется уравнение вида:

Пример:

ЛДУ1п делятся на однородные и неоднородные.

· Однородные ЛДУ1п:

· Неоднородные ЛДУ1п:

 

Одним из методов решения ЛДУ1п является метод Бернулли.

Используя подстановку , можно свести решение ЛДУ1п к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

, тогда

 

 

Подберем функцию так, чтобы скобка равнялась 0.

Умножим обе сторон на dx и разделим на v:

Проинтегрируем обе стороны:

Шпаргалка с нужными формулами

 

Достаточно частного решения (например при С=0)

 

 

при этом v выражение в скобке =0. Подставим найденное v в уравнение

заменяем v на найденное:

Домножим на dx обе стороны

проинтегрируем обе стороны

(1)

Шпаргалка с нужными формулами

(2)

 

(1)

(2)

(1)=(2)

Шпаргалка с нужными формулами

и перенесем в одну сторону и назовем их сумму С

 

 

Искомая функция представляет собой вид .

Подставим найденное ранее и найденное только что :

 

---

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!