Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы A. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица A содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы A – это определитель матрицы A, т.е. ΔA. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":
ΔA=∣∣∣∣−3−1492−2−7−419∣∣∣∣=−21.
Итак, есть минор третьего порядка матрицы A, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице A всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы A, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, rangA=3.
Нам требуется найти также и rangA˜. Давайте посмотрим на структуру матрицы A˜. До черты в матрице A˜находятся элементы матрицы A, причём мы выяснили, что ΔA≠0. Следовательно, у матрицы A˜ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы A˜ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: rangA˜=3.
Так как rangA=rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: x1, x2 и x3. Так как количество неизвестных n=3, то делаем вывод: rangA=rangA˜=n, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.
|
|
|
Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. ΔA) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.
Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы A является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если ΔA=0, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если ΔA=0, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.
|
|
|
Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.
Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 14; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!