Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.
Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.
Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой A, а расширенную матрицу системы – буквой A˜.
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.
Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
1. Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
2. Если rangA=rangA˜<n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).
|
|
|
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.
Пример №1
Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪−3x1+9x2−7x3=17;−x1+2x2−4x3=9;4x1−2x2+19x3=−42. на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.
Решение
Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы A и расширенная матрица системы A˜, запишем их:
A=⎛⎝⎜−3−1492−2−7−419⎞⎠⎟;A˜=⎛⎝⎜⎜−3−1492−2−7−419179−42⎞⎠⎟⎟.
Нужно найти rangA и rangA˜. Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе"Ранг матрицы". Обычно для исследования таких систем применяют два метода: "Вычисление ранга матрицы по определению" или "Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований".
Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!