Побудова діагностичної моделі об’єкту

Технічний об'єкт задано наступною схемою сполучення блоків (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1- Структурна схема системи.

Крім того, задана ймовірність появи сигналу на вході блоку 2 Р ₁ = 0.974 і ваги a_j блоків, що враховують їх орієнтовну вартість а ₂=0.05; а ₃=0.05; а ₄=0.16; a ₅=0.2; а ₆=0.136; a ₇=0.2; а ₈=0.204.

Для побудови діагностичної моделі об'єкту розрахуємо значення імовірностей P_j, (j =2, 3,..., 8) виконання блоками своїх задач, задавшись Р _о=0,995:

Користуючись схемою сполучення блоків, побудуємо граф G, вершинами якого будуть є фактори x_i, що характеризуються ймовірностями станів P_i, q_i.

Рисунок 2.2 - Граф G.

Записуємо значення локальних ступіней M ₁, М ₂ для кожної вершини

М ₁₁=1, М ₂₁=0; М ₁₂=2, М ₂₂=1; М ₁₃=3, М ₂₃=1; М ₁₄=1, М ₂₄=1; М ₁₅=2, М ₂₅=2; М ₁₆=1, М ₂₆=2; М ₁₇=1, М ₂₇=3; М ₁₈=0, М ₂₈=1.

Здійснюємо структурне перетворення графа G для одного з можливих складних факторів x ₂₁ (рис. 2.3).

Рисунок 2.3 - Перетворений граф G (фрагменти).

Записуємо локальні ступіні вершини, що містить складний фактор x₂₁:

М ₁(21) = М ₁₁+ М ₁₂–1 = 2,

М ₂(21) = М ₂₁+ М ₂₂–1 = 0.

Послідовно здійснюємо всі можливі структурні перетворення G_ij: G ₃₂, G ₅₂, G ₄₃, G ₅₃, G ₆₄, G ₆₅, G ₇₃, G ₇₆, G ₇₅, G ₈₇ (усього їх l –1=10) і знаходимо їхні локальні степені М ₁, М ₂ (рисунок 2.4) _.

Для G ₃₂: М ₁(32) = М ₁₂+ М ₁₃–1 = 4,

М ₂(32) = М ₂₂+ М ₂₃–1 = 1;

G ₅₂: М ₁(52) = М ₁₂+ М ₁₅–1 = 3,

М ₂(52) = М ₂₂+ М ₂₅–1 = 2;

G ₄₃: М ₁(43) = М ₁₃+ М ₁₄–1 = 3,

М ₂(43) = М ₂₃+ М ₂₄–1 = 1;

G ₅₃: М ₁(53) = М ₁₃+ М ₁₅–1 = 4,

М ₂(53) = М ₂₃+ М ₂₅–1 = 2;

G ₆₄: М ₁(64) = М ₁₄+ М ₁₆–1 = 1,

М ₂(64) = М ₂₄+ М ₂₆–1 = 2;

G ₆₅: М ₁(65) = М ₁₅+ М ₁₆–1 = 2,

М ₂(65) = М ₂₅+ М ₂₆–1 = 3;

G ₇₃: М ₁(73) = М ₁₇+ М ₁₃–1 = 3,

М ₂(73) = М ₂₇+ М ₂₃–1 = 3;

G ₇₆: М ₁(76) = М ₁₇+ М ₁₆–1 = 1,

М ₂(76) = М ₂₇+ М ₂₆–1 = 4;

G ₇₅: М ₁(75) = М ₁₇+ М ₁₅–1 = 2,

М ₂(75) = М ₂₇+ М ₂₅–1 = 4;

G ₈₇: М ₁(87) = М ₁₇+ М ₁₈–1 = 0,

М ₂(87)= М ₂₇+ М ₂₈–1=3.

Рисунок 2.4 – Всі можливі структурні перетворення складних факторів (фрагменти) a)- x ₃₂, б)- x ₅₂, в)- x ₄₃, г)- x ₅₃, д)- x ₆₄, е)- x ₆₅, ж)- x ₇₃, з)- x ₇₆, и)- x ₇₅, к)- x ₈₇.

Перевіряємо, чи задовольняє число структурних перетворень:

; l=11.

Для кожного структурного перетворення G_ij записуємо співвідношення між інформацією і ентропією:

х ₂₁, G ₂₁; I (x ₂₁, x₁) = γ₂₁ H (x ₁);

х ₃₂, G ₃₂; I (x ₃₂, x₁) = γ₂₁H (x₁);

x ₅₂, G ₅₂; I (x ₅₂, x₁, x₃) = γ₂₁H (x₁) +γ₅₃H (x₃);

x ₄₃, G ₄₃; I (x ₄₃, x₂) = γ₃₂H (x₂);

x ₅₃, G ₅₃; I (x ₅₃_, x₂) = (γ₃₂+ γ₅₂) H (x₂);

x ₆₄, G ₆₄; I (x ₆₄, x₃, x₅) = γ₄₃H (x₃) +γ₆₅H (x₅);

x ₆₅, G ₆₅; I (x ₆₅, x₂, x₃, x₄) =γ₅₂H (x₂)+ γ₅₃H (x₃)+ γ₆₄H (x₄);

x ₇₃, G ₇₃; I (x ₇₃, x₂, x₅, x₆) =γ₃₂H (x₂)+ γ₇₅H (x₅)+ γ₇₆H (x₆);

x ₇₆, G ₇₆; I (x ₇₆, x ₃, x ₄, x ₅) = (γ₆₅ + γ₇₅) H (x ₅)+γ₆₄ H (x ₄)+γ₇₃ H (x ₃);

x ₇₅, G ₇₅; I (x ₇₅, x₂, x₃, x₆) = γ₅₂H (x₂)+(γ₅₃ + γ₇₃) H (x ₃)+ γ₇₆H (x₆);

x ₈₇, G ₈₇; I (x ₈₇, x₃, x₅, x₆) = γ₇₃ H (x₃)+ γ₇₅H (x₅)+ γ₇₆H (x₆).

Ентропію розраховуємо за формулою:

H ₁ = –[ P ₁ log ₂ P ₁ +q ₁ log ₂ q ₁] = 0.174;

H ₂ = –[ P ₂ log ₂ P ₂ +q ₂ log ₂ q ₂] = 0.198;

H ₃= 0.22; H ₄= 0.239; H ₅= 0.238; H ₆= 0.389; H ₇= 0.274; H ₈= 0.29.

Визначимо узагальнену інформацію для кожного складного блоку по формулі:

x ₂₁, G ₂₁; I (x ₂₁) = = 0.169;

x ₃₂, G ₃₂; I (x ₃₂, x ₁) = = 0.164;

x ₅₂, G ₅₂; I (x ₅₂, x₁, x₃) = = 0.376;

x ₄₃, G ₄₃; I (x ₄₃, x₂) = =0.188;

x ₅₃, G ₅₃; I (x ₅₃_, x₂) = = 0.376;

x ₆₄, G ₆₄; I (x ₆₄, x₃, x₅) = = 0.385;

x ₆₅, G ₆₅; I (x ₆₅, x₂, x₃, x₄) =

= 0.545;

x ₇₃, G ₇₃; I (x ₇₃, x₂, x₅, x₆) =

= 0.86;

x ₇₆, G ₇₆; I (x ₇₆, x ₃, x ₄, x ₅) =

= 0.898;

x ₇₅, G ₇₅; I (x ₇₅, x₂, x₃, x₆) =

= 1.044;

x ₈₇, G ₈₇; I (x ₈₇, x₃, x₅, x₆) =

=0.871.

Підставляючи значення функціоналів інформацій і ентропій для кожного структурного перетворення, отримуємо систему з двох лінійних алгебраїчних рівнянь, відносно коефіцієнтів причинного впливу γ _ij, яка і буде представляти діагностичну модель об’єкту:

1) 0,169 =0,174 γ₂₁;

2) 0,164 =0,174 γ₂₁;

3) 0,376 =0,174 γ₂₁+0,22γ₅₃;

4) 0,188 =0,198 γ₃₂;

5) 0,376 = 0,198(γ₃₂+ γ₅₂);

6) 0,385 = 0,22γ₄₃+0,238γ₆₅;

7) 0,545 =0,198γ₅₂+0,22γ₅₃+0,239γ₆₄;

8) 0,86 =0,198γ₃₂+0,238 γ₇₅+0,389γ₇₆;

9) 0,898 = 0,238(γ₆₅+ γ₇₅)+0,239γ₆₄+0,22γ₇₃;

10)1,044 = 0,198γ₅₂+0,22(γ₅₃+γ₇₃)+0,389γ₇₆;

11) 0,871 =0,22γ₇₃+0,238γ₇₅+0,389γ₇₆.

Як видно з рівнянь значення фактора γ₂₁ вводить невизначеність в діагностичну модель тому для подальшого використання даної діагностичної моделі необхідно провести корекцію моделі.Об’єднаємо вершини 1 і 2 (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4.

Тоді:

Записуємо значення локальних ступіней M ₁, М ₂ для кожної вершини М ₁₁=2, М ₂₁=0; М ₁₃=3, М ₂₃=1; М ₁₄=1, М ₂₄=1; М ₁₅=2, М ₂₅=2; М ₁₆=1, М ₂₆=2; М ₁₇=1, М ₂₇=3; М ₁₈=0, М ₂₈=1.

Здійснюємо структурні перетворення графа G для всіх з можливих складних факторів (рис. 2.4). Записуємо локальні ступіні вершини, що містять складні фактори. Послідовно здійснюємо всі можливі структурні перетворення G_ij: G ₃₁, G ₅₁, G ₄₃, G ₅₃, G ₆₄, G ₆₅, G ₇₃, G ₇₆, G ₇₅, G ₈₇ (усього їх l =10) і знаходимо їхні локальні степені М ₁, М ₂ (рисунок 2.5) _.

Для G ₃₁: М ₁(31) = М ₁₁+ М ₁₃–1 = 4,

М ₂(31) = М ₂₁+ М ₂₃–1 = 0;

G ₅₁: М ₁(51) = М ₁₁+ М ₁₅–1 = 3,

М ₂(51) = М ₂₁+ М ₂₅–1 = 1;

G ₄₃: М ₁(43) = М ₁₃+ М ₁₄–1 = 3,

М ₂(43) = М ₂₃+ М ₂₄–1 = 1;

G ₅₃: М ₁(53) = М ₁₃+ М ₁₅–1 = 4,

М ₂(53) = М ₂₃+ М ₂₅–1 = 2;

G ₆₄: М ₁(64) = М ₁₄+ М ₁₆–1 = 1,

М ₂(64) = М ₂₄+ М ₂₆–1 = 2;

G ₆₅: М ₁(65) = М ₁₅+ М ₁₆–1 = 2,

М ₂(65) = М ₂₅+ М ₂₆–1 = 3;

G ₇₃: М ₁(73) = М ₁₇+ М ₁₃–1 = 3,

М ₂(73) = М ₂₇+ М ₂₃–1 = 3;

G ₇₆: М ₁(76) = М ₁₇+ М ₁₆–1 = 1,

М ₂(76) = М ₂₇+ М ₂₆–1 = 4;

G ₇₅: М ₁(75) = М ₁₇+ М ₁₅–1 = 2,

М ₂(75) = М ₂₇+ М ₂₅–1 = 4;

G ₈₇: М ₁(87) = М ₁₇+ М ₁₈–1 = 0,

М ₂(87)= М ₂₇+ М ₂₈–1=3.

Рисунок 2.5 – Всі можливі структурні перетворення складних факторів (фрагменти) a)- x ₃₁, б)- x ₅₁, в)- x ₄₃, г)- x ₅₃, д)- x ₆₄, е)- x ₆₅, ж)- x ₇₃, з)- x ₇₆, и)- x ₇₅, к)- x ₈₇.

Перевіряємо, чи задовольняє число структурних перетворень:

; l=10.

Для кожного структурного перетворення G_ij записуємо співвідношення між інформацією і ентропією:

х ₃₁, G ₃₁; I (x ₃₁, x₁) = γ₃₁H (x₁);

x ₅₁, G ₅₁; I (x ₅₁, x₃) = γ₅₃H (x₃);

x ₄₃, G ₄₃; I (x ₄₃, x₁) = γ₃₁H (x₁);

x ₅₃, G ₅₃; I (x ₅₃_, x₁) = (γ₃₁+ γ₅₁) H (x₁);

x ₆₄, G ₆₄; I (x ₆₄, x₃, x₅) = γ₄₃H (x₃) +γ₆₅H (x₅);

x ₆₅, G ₆₅; I (x ₆₅, x₁, x₃, x₄) =γ₅₁H (x₁)+ γ₅₃H (x₃)+ γ₆₄H (x₄);

x ₇₃, G ₇₃; I (x ₇₃, x₁, x₅, x₆) =γ₃₁H (x₁)+ γ₇₅H (x₅)+ γ₇₆H (x₆);

x ₇₆, G ₇₆; I (x ₇₆, x ₃, x ₄, x ₅) = (γ₆₅ + γ₇₅) H (x ₅)+γ₆₄ H (x ₄)+γ₇₃ H (x ₃);

x ₇₅, G ₇₅; I (x ₇₅, x₁, x₃, x₆) = γ₅₁H (x₁)+(γ₅₃ + γ₇₃) H (x ₃)+ γ₇₆H (x₆);

x ₈₇, G ₈₇; I (x ₈₇, x₃, x₅, x₆) = γ₇₃ H (x₃)+ γ₇₅H (x₅)+ γ₇₆H (x₆).

Ентропію розраховуємо за формулою:

H ₁ = –[ P ₁ log ₂ P ₁ +q ₁ log ₂ q ₁] = 0.174;

H ₃= 0.198; H ₄= 0.217; H ₅= 0.217; H ₆= 0.373; H ₇= 0.254; H ₈= 0.271.

Визначимо узагальнену інформацію для кожного складного блоку по формулі:

x ₃₁, G ₃₁; I (x ₃₁, x ₁) = = 0.169;

x ₅₁, G ₅₁; I (x ₅₁, x₃) = = 0.194;

x ₄₃, G ₄₃; I (x ₄₃, x₁) = =0.164;

x ₅₃, G ₅₃; I (x ₅₃_, x₁) = = 0.329;

x ₆₄, G ₆₄; I (x ₆₄, x₃, x₅) = = 0.343;

x ₆₅, G ₆₅; I (x ₆₅, x₁, x₃, x₄) =

= 0.48;

x ₇₃, G ₇₃; I (x ₇₃, x₁, x₅, x₆) =

= 0.8;

x ₇₆, G ₇₆; I (x ₇₆, x ₃, x ₄, x ₅) =

= 0.809;

x ₇₅, G ₇₅; I (x ₇₅, x₁, x₃, x₆) =

= 0. 961;

x ₈₇, G ₈₇; I (x ₈₇, x₃, x₅, x₆) =

=0.811.

0,169 = 0,174γ₃₁;

0,194 =0,198γ₅₃;

0,164 =0,174 γ₃₁;

0,329 = 0,174(γ₃₁+ γ₅₁);

0,343 = 0,198γ₄₃+0,217γ₆₅;

0,48 =0,174γ₅₁+0,198γ₅₃+0,217γ₆₄;

0,8 =0,174γ₃₁+0,217γ₇₅+0,373γ₇₆;

0,809 =0,217(γ₆₅+ γ₇₅)+0,217γ₆₄+0,198γ₇₃;

0,961 =0,174γ₅₁+0,198(γ₅₃+ γ₇₃)+0,373γ₇₆;

0,811 =0,198γ₇₃+ 0,217γ₇₅+0,373γ₇₆.

Як видно з рівнянь значення фактора γ₃₁ вводить невизначеність в діагностичну модель тому для подальшого використання даної діагностичної моделі необхідно провести корекцію моделі.Об’єднаємо вершини 1 і 3 (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6.

Тоді:

Записуємо значення локальних ступіней M ₁, М ₂ для кожної вершини М ₁₁=3, М ₂₁=0; М ₁₄=1, М ₂₄=1; М ₁₅=2, М ₂₅=1; М ₁₆=1, М ₂₆=2; М ₁₇=1, М ₂₇=3; М ₁₈=0, М ₂₈=1.

Здійснюємо структурні перетворення графа G для всіх з можливих складних факторів (рис. 2.6). Записуємо локальні ступіні вершини, що містять складні фактори. Послідовно здійснюємо всі можливі структурні перетворення G_ij: G ₅₁, G ₄₁, G ₆₄, G ₆₅, G ₇₁, G ₇₆, G ₇₅, G ₈₇ (усього їх l =8) і знаходимо їхні локальні степені М ₁, М ₂ (рисунок 2.7) _.

Для G ₅₁: М ₁(51) = М ₁₁+ М ₁₅–1 = 4,

М ₂(51) = М ₂₁+ М ₂₅–1 = 0;

G ₄₁: М ₁(41) = М ₁₁+ М ₁₄–1 = 3,

М ₂(41) = М ₂₁+ М ₂₄–1 = 0;

G ₆₄: М ₁(64) = М ₁₄+ М ₁₆–1 = 1,

М ₂(64) = М ₂₄+ М ₂₆–1 = 2;

G ₆₅: М ₁(65) = М ₁₅+ М ₁₆–1 = 2,

М ₂(65) = М ₂₅+ М ₂₆–1 = 2;

G ₇₁: М ₁(71) = М ₁₇+ М ₁₁–1 = 3,

М ₂(71) = М ₂₇+ М ₂₁–1 = 2;

G ₇₆: М ₁(76) = М ₁₇+ М ₁₆–1 = 1,

М ₂(76) = М ₂₇+ М ₂₆–1 = 4;

G ₇₅: М ₁(75) = М ₁₇+ М ₁₅–1 = 2,

М ₂(75) = М ₂₇+ М ₂₅–1 = 3;

G ₈₇: М ₁(87) = М ₁₇+ М ₁₈–1 = 0,

М ₂(87)= М ₂₇+ М ₂₈–1=3.

Рисунок 2.7 – Всі можливі структурні перетворення складних факторів (фрагменти) б)- x ₅₁, в)- x ₄₁, д)- x ₆₄, е)- x ₆₅, ж)- x ₇₁, з)- x ₇₆, и)- x ₇₅, к)- x ₈₇.