А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Математика дата 09.11.21г.урок 18 группа 1

Тема : Урок обобщения и систематизации по теме «Действительные числа»

Цель: обобщить и систематизировать изученный материал

1. Учебник Ш.А Алимов 10-11 Алгебра и начало математического анализа

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Числовые множества:

• Множество натуральных чисел.

• Множество целых чисел.

• Множество рациональных чисел.

•Множество иррациональных чисел.

• Множество действительных чисел.

Самое важное о натуральных числах.

Делимость чисел

1. Если a делится на b, b делится на c, то a делится на c.

2. Если a делится на c, b делится на c, то a + b делится на c.

3. Признаки делимости:

• на 2 (последняя цифра четная) на 5 (последняя цифра 0 или 5);

• на 3 и 9 (сумма цифр делится на 3 или на 9).

Степень числа, свойства:

Разложение на множители:

Каждое натуральное число, отличное от 1, можно разложить на простые множители.

Самое важное о рациональных числах.

Рациональное число можно записать в виде дроби m/n, где m целое, n натуральное.

Рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел.

Модуль числа:

|а| =

Приближение чисел.

Округление чисел.

Правила округления:

• Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 5, 6, 7, 8, 9 цифру в разряде увеличиваем на 1.

• Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 0, 1, 2, 3, 4 цифру в разряде не изменяем.

• Заменить следующие цифры нулями, если они значащие, или отбросив их.

Округлить число с точностью до n значащих цифр – это значит, округлить число, сохранив в нём n значащих цифр, заменив следующие цифры нулями или отбросив их.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Укажите обыкновенную дробь, равную дроби 0,(12), выберите верный ответ:

равна данной дроби.

Две другие можно проверить делением:

Задача 2

Выберите наибольшее число:

Заметим, что к одному и тому же числу 2,(15) прибавляем разные числа. Выберем самое большое из них. Это число 0,35, значит самое большое число а.

Задача 3.

На координатной прямой точки A, B, C, D соответствуют числам: 0,(7); -0,15; 0,(4); ½ .

Какой точке соответствует число ½?

Для этого расположим числа в порядке возрастания как на числовой оси: -0,15; 0,(4), ½; 0,(7).

Ответ: Точка С имеет координату ½.

Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой R.

В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.

Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m —целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.

Пример: -3; -0,5; .

Иррациональные числа- это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Пример: π=3,141592…; 0, 113456... .

Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.

На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.

Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы

Пусть это последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения как угодно близко приближается к нулю.

при или

Читается «модуль разности у и стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»

Т.е. если при или

Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:

А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).

Рисунок 1

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

n=15, ;

n=20, ;

n=21, .

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)

Рисунок 2

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: (Рисунок 3)