В итоге получаем искомую производную
.
Пример 2.3. Найти производную функции 
.
Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных
.
Для нахождения производной первого слагаемого 
обозначим 
, 
.
Тогда 
,
= 
Производную второго слагаемого 
найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию 
: 
Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства 
Отсюда 
Наконец, находим производную искомой функции
Пример 2.4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса 
населения на некоторый товар в зависимости от цены 
:
.
Определить коэффициент эластичности спроса при 
(в условных денежных един. ).
Решение. Коэффициент эластичности спроса 
находится по формуле:
.
Если 
>1, то спрос называют эластичным, при <1 – неэластичным, а при 
нейтральным.
Найдем производную 
.
Тогда
.
Определим коэффициент эластичности спроса при цене : 
. Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.
Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида 
можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.
Если 
(или 
), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е. 
.
В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.
|
|
|
Пример 2.5. Найти 
Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.
Неопределенность вида 
по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение производной функции в точке.
2. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
3. Назовите важнейшие правила дифференцирования.
4. Как находится производная сложной функции?
5. Сформулируйте правило Лопиталя.
Задачи для самостоятельной работы
Найти производные следующих функций:
Таблица 2.2
| Номер варианта | А) | Б) | В) |
| 1 | y=(3x4-4x(-1/4)+2)5 | y=arccos2x+(1-4x2)1/2 | y=2tgx+x sin(2x |
| 2 | y=(5x2+4x(5/4)+3)3 | y=arctg(x2-1)1/2 | y=e3x-2x tg(3x) |
| 3 | y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3 | y=arccos(1-x2)1/2 | y=3cosx-x sin(2x) |
| 4 | y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4 | y=arctg(x-1)1/2 | 
|
| 5 | y=(3x8+5x(2/5)-3)5 | y=arctg(2/(x-3)) | 
|
| 6 | y=(5x4-2x(-3/2)+3)4 | y=arccos(1-x)1/2 | 
|
| 7 | y=(4x3+3x(-4/3)-2)5 | y=arcctg(x-1)1/2 | 
|
| 8 | y=(7x5-3x(5/3)-6)4 | y=arcsin3x-(1-9x2)1/2 | y=etgx-x1/2 cos(2x). |
| 9 | y=(3x4-4x(-1/4)-3)5 | y=arctg(1/(x-1)) | y=x tg3x+2x-2 |
| 10 | y=(8x3-9x(-7/3)+6)5 | y=arcsin((1-x)1/2) | 
|
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!