Задачи для самостоятельной работы
Найти пределы следующих функций:
Таблица 1.1
Номер варианта | А) | Б) |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 |
Производная функции
Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует и конечен и обозначается:
.
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.
1. Производная постоянной величины ( ) равна нулю: .
2. Постоянный множитель выносится за знак производной .
3. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций .
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:
.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:
.
Если переменная есть функция от переменной (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция независимой переменной ( ), то говорят, что задана сложная функция = = .
|
|
Пусть и - дифференцируемые функции по своим аргументам, тогда производная сложной функции существует и равна произведению производных данных функций по соответствующим переменным:
Для вычисления производных функций применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.
Таблица 2.1
№ | функция | производная | № | функция | производная |
1 | 7 | 1/ | |||
2 | 8 | -1/ | |||
3 | 1/ | 9 | 1/( ) | ||
4 | 10 | -1/( ) | |||
5 | 11 | 1/(1+ ) | |||
6 | - | 12 | -1/(1+ ) |
В экономике используется понятие эластичности как мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Коэффициент эластичности функции определяется следующим соотношением:
.
Коэффициент эластичности функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится переменная в результате увеличения переменной на 1%.
Пример 2.1. Найти производную функции .
Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть , тогда и . Найдем производную по аргументу как степенной функции
|
|
.
В свою очередь, аргумент представляется в виде алгебраической суммы двух степенных функций и постоянной. Поэтому, используя правила дифференцирования 1-3, получим:
= .
Отсюда производная искомой функции
.
Пример 2.2. Найтипроизводную функции .
Решение. Обозначим , . Тогда и искомая производная находится по формуле: .
Производную находим из таблицы производных элементарных функций
.
Второй сомножитель представляет производную от степенной функции
Наконец, последняя производная находится по правилам дифференци-
рования частного
= = .
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 20; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!