Подставляя исходные числовые данные задачи, получаем

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Казанский институт (филиал) ГОУ ВПО

Российский государственный торгово-экономический университет

_______________________________________________________

Кафедра информатики и высшей математики

ТАЛЫЗИН В.А.

МАТЕМАТИКА-1

Учебное пособие

КАЗАНЬ-2008г.

Введение

Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по экономическим специальностям и предназначено для студентов заочного отделения.

Цель пособия – помочь студентам в усвоении фундаментальных математических понятий, овладении навыками их применения на практике при выполнении контрольной работы по соответствующим темам высшей математики.

В пособии рассмотрены такие разделы высшей математики как предел и производная функции, неопределенный и определенный интеграл, дифференциальные уравнения, а также применение математического аппарата производной и дифференциала функции в приближенных вычислениях, для исследования функций и построения их графиков.

По каждой теме приводятся необходимые теоретические сведения, решаются типовые задачи, подобраны задания для самостоятельной работы и вопросы для самопроверки.

Предел функции

Число А называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа ( >0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию

< ,

выполняется неравенство < .

Для предела функции вводится обозначение =А.

Пределы функций обладают следующими основными свойствами:

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Если = С (постоянная), то С.

3. Если существует А, то для любого числа верно равенство:

4. Если существуют А и В, то = АВ, а если В 0 , то .

5. Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула

Если функция непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :

Функция ( ) называется бесконечно малой величиной при , если ее предел в точке равен нулю: Функция называется бесконечно большой величиной при , если

Пример 1.1. 9.

Пример 1.2. .

В рассмотренных примерах предел находился сразу в виде числа или символа (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен. Например, в случае отношения двух бесконечно малых функций ( условное обозначение ) или отношения двух бесконечно больших функций ( ). Кроме двух названных случаев встречаются неопределенности вида

Для раскрытия неопределенностей используются специальные математические приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:

- первый замечательный предел

-второй замечательный предел (число Эйлера).

Пример 1.3. .

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени и найдем его решение:

Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители

Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.

Уравнение имеет решения

и знаменатель представляется в виде:

Сократим дробь на множитель и вычислим ее при

Пример 1.4.

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю

= .

Пример 1.5. .

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:

Пример 1.6. .

Решение. При имеем неопределенность вида . Представим , в котором числитель разделим и умножим на число 2, знаменатель - на число 5, а числитель и знаменатель разделим на переменную , тогда предел преобразуется к виду: .

Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:

Пример 1.7. .

Решение. Имеем неопределенность вида [ ], так как , а . Выделим у дроби целую часть .

Введем новую переменную и выразим отсюда через : . Тогда Заметим, что при переменная . Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:

= .

Неопределенности вида путем алгебраических преобразований приводятся к виду . Неопределенности вида , можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.

Пример 1.8.Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада через лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при =10, =5%, =20 лет.