Первые интегралы дифференциальных систем и основные теоремы о них.
Рассм. с-му: 
(1), т.е. 
где 
непрер. в области D.
ОПР.Дифференцируемая ф-я 
наз. первым интегралом с-мы (1), если она отлична от постоянной, но любое решение 
Если t интегрировано как время, а xкак в-р пр-ва некот. реальной системы, то тождество 
означает, что величина uc течением времени не меняется. Поэтому если 
не зависит явно от t, то это и является законом сохранения.
Т. Дифференцируемая функция 
отличная от постоянной, явл. первым интегралом системы (1) т. и т.т, когда 
Д-ВО: неох. дано: -1-й интеграл. док-ть: 
. достаточно доказать: для любого 
Пусть 
-произв точка по области D. ч/з эту точку проходит решение 
. Для этого решения 
. Продиф. это тождество, получим 
. Пусть 
получим 
достаточность: дано: док-ть: . В нашем случае , это значит
.чтдРассм. 
(1). Пусть 
-1-й интеграл в этой системе
Т. Если известен 1-й интеграл 
с-мы (1), то размерность (порядок) этой системы можно понизить на 1.{т.е. зная 1-й интеграл с-му (1) состоящую из 3-х ур-ий свести к системе сост. из 2-х ур-ий}
6. Найти 
.
непрерывная на [0; x2]
.
Ответ: 
.
6. Какие из следующих множеств попарно гомеоморфны:
(- 
;3]; [1;5) ; (-7; 2) и [2, 3]. Рассматривается естественная топология.
Решение:f-гомеоморфизм, если f-биекция, f-непрерывно, f-1 –непрерывно. Т.к. при непрерывном отображении открытые®откр, замкнутые®замкн., то след. рассматривать мн-ва (- ;3]=А и[1;5)=В. Найдем отображение f:А®В Þf=- 
, по теореме об обратном отображении f(x)-инъективно, сюръективно, а биективно. То по определению f- гомеоморфно.
|
|
|
Билет 7
ИнтегралРимана(определение,существование,свойства;диф-мость интеграла Римана по верхнему пределу). Сущ-вание первообразной у непр-вной ф-ции. Формула Ньютона-Лейбница.
Опр. Пусть f(x) функция заданная на [a;b]; 1. Разбиением отрезка [a;b] называется система точек x0, x1,...,xn: такая что a= x0<x1<x2<…<xn=b; 2. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и система точек 
такие что 
[xi-1;xi]; 3. Диаметром разбиения называется 
. Обозначения (P; 
) - разбиение с отмеченными точками; 
- диаметр разбиения; P - разбиение.
Опр. Интегральной суммой функции f для данного разбиения (P; ) называется сумма 
и обозначается 
.
Опр. Число I называется определённым интегралом ф-ции f на [a;b], если 
>0 
>0: 
с диаметром 
.
Опр. Интегралом функции f на [a;b] называют предел интегральных сумм при 
и обозначается 
= 
.
Функция называется интегрируемой по Риману, если у нее 
интеграл.
Необходимое условие интегрируемости: Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на нем.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости (критерий Дарбу интегрируемости по Риману): Для того чтобы ф-ция f была интегрируема на [a;b] 
чтобы она была огр и удовлетв условию >0 
>0: 
с 
, имеем: 
.
|
|
|
R[a;b] – класс всех функций интегрируемых по Риману на [a;b]. 
Т(св-во линейности). 1. 
f ,g 
R[a;b], f+g 
R[a;b]; 2. 
f 
R[a;b] , 
R, 
f 
R[a;b] ; 3. 
f,g 
[a;b] 
, 
R 
f+ 
g)dx= 
+ 
.
Т(св-во интегрируемости произведения)Пусть f ,g R[a;b] 
f*g R[a;b]
Т(св-во)Пусть a<c<b, если f R[a;c] и f R[c;b], тогда ф-ция f R[a;b] и 
Т(неотриц интегралов)Пусть f R[a;b] и 
на [a,b], тогда 
Т(св-во интегр-ти модуля)Если ф-ция f R[a;b] 
и 
Дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу.
Опр. Пусть f R[a;b], тогда f R[a;х] , 
[a;b] определён 
и ф-ция F: 
[a;b] 
эту функцию наз опред интеграл с переменным верхним пределом и обозн F(x)= 
.
Т (диф-ть интеграла с переменным верхним пределом): Пусть f R[a;b], и f непрерывна в точке x0 
[a;b], тогда F(х) диф-ма в x0, и 
.
Доказательство. Рассмотрим 
[a;b], F(x0+ 
x)-F(x0)= 
= 
x, где inff(x0) 
supf(x0), 
, рассмотрим 
>0 учитывая непрерывность f(x0) 
<f(t)< 
, 
, если 
< 
, и 
, тоесть 
< 
.
Т(непр интеграла с пер верх пределом) Если f R[a;b],то F(x) С[a;b]
Опр. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на [a;b]. Если заданы ф-ции f(x) и F(x) (F(x) непрерывна на [a;b]) и 
, 
.
Т(О существовании первообразной): Пусть f С[a;b], тогда для этой ф-ции на [a,b] 
первообразная F(x)= и причём 
Д-во. Возьмём произвол. т. 
f непр в т.х. По пред. Теореме имеем , т.е. ф-ция F явл. первообр. для f.
|
|
|
Т(Формула Ньютона-Лейбница): Пусть f С[a;b], и Ф(х) какая либо первообр ф-ции f , тогда справед формула Ньютона-Лейбница 
= 
Доказательство. Т.к. f(x) – непрерывна всюду кроме конечного числа точек и ограничена, то она интегрируема. Пусть 
(x) – одна из обобщенных первообразных, обозначим через F(x)= 
, тогда 
(x)-F(x) 
c, тогда (a)-F(a)=c, (a)=c; 
=F(b), (b)-F(b)=c; 
= (b)-c= (b)- (a). Краткая запись 
= (x) 
. Формула Ньютона-Лейбница верна, когда a 
b, 
= - 
=-( (a)- (b))= (b)- (a).
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 676; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!