Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
.Решение:Выпишем расширенную матрицу системы
Приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Для этого мы можем делать элементарные преобразования строк.
Т-ма Кронекери-Копелли: СЛУ совместима , когда ранг матрицы = рангу расширенной матрицы системы.
Ранг матрицы – число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы С – расширенная матрица системы, А – матрица системыr(C)=2r(A)=2 r(C)=r(A) и по теореме Кронекери-Копелли система совместима. От ступенчатой матрицы переходим к ступенчатой системе: Т. к. число уравнений системы < числа неизвестных, то в этом случае система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решение, надо разбить неизвестные на главные и свободные.
главные неизвестные, свободная неизвестная (может быть любым числом),
3.
Ответ: 0.
Билет 4
Произ-ная фу-ции в точке. Дифференциал. Производные и диф-циалы высших порядков.
Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности точки x0 ,если , то он называется производной функции f в точке x0(при x x0) и обозначается . Обозначим ∆x=x-x0, тогда , обозначим , тогда .
Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности U(x0), функция f называется дифференцируемой в точке x0, если имеет место представление , где -б.м. при ;
наз дифференциалом функции f в т. x0 и обозначается df(x0)= .
Опр. Разность наз приращением ф-ции в т. x0, и обозн . Разность наз приращением аргумента
Т. Если ф-ция f диф в т. x0 , то она непр в этой точке.
|
|
Опр. Пусть f диф-ма в некот окрестности т. x0 , т.е. и конечная , где . Если то её наз второй производной f (x0) и обозначается .Т.о.
Опр. Производная (n)-го порядка в точке x0 получается из производной в этой точке от производной (n-1) порядка. Обозначение f(0)=f. Опр. Функция f называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если у нее имеется до n-го порядка включительно и они непрерывны.
Теорема. (О вычислении производной высшего порядка)
Пусть U(x) и V(x) имеют в точке x0 производные до n-го порядка включительно, тогда их сумма и произведение имеют в точке x0 производную n-го порядка, при этом (u+v){n}=u{n}+v{n}, (uv){n}=(u+v){n}, где {n} означает, что u+v нужно формаль-но возвести в n-ю степень, а затем везде заменить степень на производную.
Вторым дифференцалом функции f в точке x0 называется дифференциал от ее первого дифференциала, предположим что (или dx) фиксируются. Обозначения d2y, d2f, d2f(x0), d2f=d(df)=d( dx)=d( )dx= dxdx= (dx)2. dnf(x0)=f(n)(x0)dxn. Свойства дифференциалов высших порядков dn(u+v)=d{n}u+d{n}v, dncu=cdnu, dn(uv)=(u+v){n}(dx)n.
Фундаментальная сис-ма решений линейного одно-ного диф-ного уравнения и его общее решение Фундаментальная сис-ма решений линейной одно-дной системы и общее решение этой системы.
|
|
Рассм. (1)его коэффиц. непрер. на интервале . п-решений ур-ия (1) образуют фундаментальную с-му решений, если для кот. вроксиан
По ф-ле Остроградского-Лиувилля значит если
Значит решения образуют фундаментальную с-му решений на I, если вроксиан этих решений не обращается в нуль ни в одной точке из I.
Т. У всякого ур-ия (1) с непр. на I коэффиц.существует фундаментальная система ур-ий.
Д-ВО: Возьмем какое-нибудь и зафиксируем его. Для этого ур-ия есть только одно решение удовл. начальным усл-ям:
Так же для ур-ия (1) существует единствен. решение удовлетв. нач. усл . то же и для решения Продолжая такие рассуждения докажем, что
Вычислим вроксиан этих решений в точке :
общее решение
, коэффиц этого ур-ия непрер. на
Т. Пусть два решения (1), тогда с-const, также явл. решением ур-ия (1)
Т. Пусть фундаментальная система решений ур-ия (1), тогда общее решение этого ур-ия
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 778; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!