Однородные и неоднородные уравнения Эйлера
Уравнением Эйлера называют линейное уравнение с переменными коэффициентами вида: , где - постоянные числа; – заданная функция.
Уравнение Эйлера, как однородное, так и неоднородное, приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной = , если >0, , если <0.
Рассмотрим метод на примере уравнения Эйлера 2-го порядка.
Пример 2.14.Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера: .
Решение. 1) Применяя подстановку = , получим линейное уравнение
. (2.11)
Его характеристическое уравнение имеет корни = =2. Составляем для (2.11) фундаментальную систему решений = , = и строим общее решение соответствующего однородного уравнения: .
2) Учитывая, что = , частное решение неоднородного уравнения (2.11) будем искать в виде = . Подставляя , , получим тождество, из которого легко вычислить . В таком случае, = .
3) Запишем общее решение уравнения (2.11) = = .
4) Выполняя обратную замену , получим решение исходного уравнения .
Ответ. Общее решение .
Задание 2.9. Решить уравнения Эйлера.
а) однородные:
Вар. | Уравнение | Вар. | Уравнение: |
2.9.1. | . | 2.9.9. | . |
2.9.2. | . | 2.9.10. | . |
2.9.3. | . | 2.9.11. | . |
2.9.4. | . | 2.9.12. | . |
2.9.5. | . | 2.9.13. | . |
2.9.6. | . | 2.9.14. | . |
2.9.7. | . | 2.9.15. | . |
2.9.8. | . |
б) неоднородные:
|
|
Вар. | Уравнение | Вар. | Уравнение |
2.9.16. | . | 2.9.24. | . |
2.9.17. | . | 2.9.25. | . |
2.9.18. | . | 2.9.26. | . |
2.9.19. | . | 2.9.27. | . |
2.9.20. | . | 2.9.28. | . |
2.9.21. | . | 2.9.29. | . |
2.9.22. | . | 2.9.30. | . |
2.9.23. | . |
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1097; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!