Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений

Линейные дифференциальные уравнения

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Пусть задано однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами , и необходимо найти его общее решение.

Приведем алгоритм решения этой задачи:

1) Ищем фундаментальные решения уравнения в виде функций . Подставляя и её производные и в заданное уравнение, получаем, что числа должны быть корнями характеристического уравнения .

2). Находим корни характеристического уравнения , и строим фундаментальную систему решений (ФСР):

а) если , − действительные различные, ФСР образуют функции и ;

б) если , − действительные и равные, ФСР образуют функции и ;

в) если − комплексно сопряжённые, ФСР образуют функции и .

3). Имея ФСР, записываем общее решение заданного уравнения , где произвольные постоянные.

Если необходимо решить задачу Коши, то есть найти функцию , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет заданным начальным условиям , то подставляя условия , в выражения и , получаем систему линейных уравнений относительно для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Решая её, находим решение задачи Коши.

Пример 2.1: Решить задачу Коши: , . Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение. 1) По заданному дифференциальному уравнению составляем характеристическое уравнение .

2) Находим корни характеристического уравнения .

3) Имея характеристические корни, составим ФСР = , = .

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения .

5) Из общего решения находим

6) Используя полученные выражения и , для заданных начальных условий получим систему из которой , .

7) Запишем частное решение (решение задачи Коши) .

Ответ. Общее решение: , частное решение: .

Пример 2.2. Решить задачу Коши , если . Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение .

2) Найдём корни характеристического уравнения – , то есть имеем кратные корни.

3) Составляем ФСР = , =x· = x· .

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения = · + · = · + · .

5) Найдем .

6) Из системы , находим , .

6) Записываем частное решение , удовлетворяющее начальным условиям.

Ответ. Общее решение = · + · , частное решение .

Задание 2.1. Решить задачу Коши для уравнений.

Вар.	Уравнение	Начальные условия
2.1.1	;	.
2.1.2.	;	.
2.1.3.	;	.
2.1.4.	;	.
2.1.5.	;	.
2.1.6.	;	.
2.1.7.	;	.
2.1.8.	;	.
2.1.9.	;	.
2.1.10.	;	.
2.1.11.	;	.
2.1.12.	;	.
2.1.13.	;	.
2.1.14.	;	.
2.1.15.	;	.
2.1.16.	;	.
2.1.17.	;	.
2.1.18.	;	.
2.1.19.	;	.
2.1.20.	;	.
2.1.21.	;	.
2.1.22.	;	.
2.1.23.	;	.
2.1.24.	;	.
2.1.25.	;	.
2.1.26.	;	.
2.1.27.	;	.
2.1.28.	;	.
2.1.29.	;	.
2.1.30.	;	.

2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

Для решения однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
n-гопорядка применяют описанный в п.2.1. алгоритм решения уравнений 2-го порядка, то есть записывают характеристическое уравнение и находят его корни. Необходимо лишь учесть, что:

1) каждому действительному корню кратности характеристического уравнения соответствует решений в ФСР: и , …, ;

2) каждой паре комплексных корней кратности характеристического уравнения соответствует решений в ФСР: , , , ,…, , .

Задание 2.2. Найти общие решения уравнений.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.2.1.	.	2.2.16.	.
2.2.2.	.	2.2.17.	.
2.2.3.	.	2.2.18.	.
2.2.4.	.	2.2.19.	.
2.2.5.	.	2.2.20.	.
2.2.6.	.	2.2.21.	.
2.2.7.	.	2.2.22.	.
2.2.8.	.	2.2.23.	.
2.2.9.	.	2.2.24.	.
2.2.10.	.	2.2.25.	.
2.2.11.	.	2.2.26.	.
2.2.12.	.	2.2.27.	.
2.2.13.	.	2.2.28.	.
2.2.14.	.	2.2.29.	.
2.2.15.	.	2.2.30.	.

Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений

Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений может быть использован метод вариации произвольных постоянных. Опишем его алгоритм на примере неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка.

1) Для заданного уравнения запишем соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение

. (2.1)

2) Находим общее решение данного однородного уравнения: , где и – функции ФСР, а и – произвольные постоянные.

3) Заменим постоянные и на функции и , причём так, что функция будет уже решением неоднородного уравнения.

4) Найдём производную для функции : = + и потребуем

=0, (2.2)

то есть, чтобы производная имела такой же вид, как и при постоянных и .

5) Учитывая (2.2), найдём производную . Получаем = + .

6) Подставив , и в исходное уравнение и учитывая, что и являются решениями однородного уравнения, получаем ещё одно требование к функциям и

= . (2.3)

7) Из условий (2.2) и (2.3) составляем систему:

(2.4)

8) Из системы (2.4) нетрудно получить выражения: и , которые затем интегрируем:

и . (2.5)

В выражении (2.5) величины и – произвольные постоянные.

9) Используя (2.5), то есть выражения для функций и , записываем общее решение неоднородного уравнения:

. (2.6)

Из (2.6) следует, что общее решение неоднородного уравнения представляется в виде , где – общее решение однородного уравнения (2.1), а функция = – частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2.3. Решить задачу Коши , , , применив метод вариации произвольных постоянных.

Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение .

2) Характеристические корни уравнения: . ФСР: и . Составим общее решение однородного уравнения: = .

3) Составим систему: В нашем случае: Из этой системы получаем и .

4) Вычислим: = и = = . Составим частное решение неоднородного уравнения

= = .

5) Составим общее решение неоднородного уравнения .

6) Для заданных начальных условий получаем , .

Ответ: Общее решение: , частное решение: .

Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.

Вар.	Уравнение	Начальные условия
2.3.1	;	=1, = .
2.3.2.	;	.
2.3.3.	;	=1, = .
2.3.4.	;	.
2.3.5.	;	=1, = .
2.3.6.	;	.
2.3.7.	;	=1, = .
2.3.8.	;	.
2.3.9.	;	=1, = .
2.3.10.	;	.
2.3.11.	;	=1, = .
2.3.12.	;	.
2.3.13.	;	=1, = .
2.3.14.	;	.
2.3.15.	;	=1, = .
2.3.16.	;	.
2.3.17.	;	=1, = .
2.3.18.	;	.
2.3.19.	;	=1, = .
2.3.20.	;	.
2.3.21.	;	=1, = .
2.3.22.	;	.
2.3.23.	;	=1, = .
2.3.24.	;	.
2.3.25.	;	=1, = .
2.3.26.	;	.
2.3.27.	;	=1, = .
2.3.28.	;	.
2.3.29.	;	=1, = .
2.3.30.	;	.

2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть записано в виде , где – общее решение неоднородного уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения. Если правая часть неоднородного уравнения имеет некоторый специальный вид, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов.

В данном пункте рассмотрим метод для уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где – действительные числа.

Общий алгоритм решения со специальной правой частью указанного вида следующий:

1) Находим корни характеристического уравнения .

2) Если ни один из корней не совпадает с (нерезонансный случай), то частное решение ищем в виде , где и – неопределённые коэффициенты, подлежащие вычислению;

3) Так как функция должна быть решением заданного неоднородного уравнения, то вычислив , и подставив функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения коэффициентов и .

4) Если (случай резонанса):

4.1) , то частное решение ищем в виде .

4.2) , то решение частное решение ищем в виде .

Если , где каждая из функций имеет указанный выше вид, то частное решение находят как сумму соответствующих частных решений .

Пример 2.4. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение: 1) Характеристические корни уравнения: =1. Общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному уравнению: = = .

2) Так как = , частное решение ищем в виде , где – неопределённый коэффициент.

3) Находим производные: = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество . Упрощая, получим равенство , из которого находим значение = .

4) Записываем общее решение неоднородного уравнения = + .

Ответ. Общее решение: = + .

Пример 2.5. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение: 1) Корни характеристического уравнения . Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения = = , где и – функции фундаментальной системы решений, а и – произвольные постоянные.

2) Так как , необходимо найти частные решения:

а) для правой части = , при условии, что ищем = ;

б) для правой части = , при условии, что ищем = .

3) Подставляя функцию и её производные в уравнение с правой частью , получаем тождество, из которого находим значение =1.

4) Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим = , = .

5) Учитывая , запишем = + .

Ответ. Общее решение: = + .

Задание 2.4. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.4.1.	.	2.4.16.	.
2.4.2.	.	2.4.17.	.
2.4.3.	.	2.4.18.	.
2.4.4.	.	2.4.19.	.
2.4.5.	.	2.4.20.	.
2.4.6.	.	2.4.21.	.
2.4.7.	.	2.4.22.	.
2.4.8.	.	2.4.23.	.
2.4.9.	.	2.4.24.	.
2.4.10.	.	2.4.25.	.
2.4.11.	.	2.4.26.	.
2.4.12.	.	2.4.27.	.
2.4.13.	.	2.4.28.	.
2.4.14.	.	2.4.29.	.
2.4.15.	.	2.4.30.	.

2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида

Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида такой же, как и для правой части вида неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида :

1) частное решение неоднородного уравнения ищем в виде = , если ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с числом , построенном по виду правой части неоднородного уравнения (нерезонансный случай);

2) если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни и один из них совпадает с числом , то имеем резонансный случай и частное решение ищем в виде = .

Значения «неопределённых коэффициентов» и вычисляем способом, изложенным в п.2.4 и ниже в примерах.

Пример 2.6. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни = , = . Общее решение однородного уравнения = = .

2) Запишем правую часть исходного уравнения в виде . Ей соответствует число . Так как , то имеем резонансный случай и частное решение ищем в виде = .

3) Найдем производные = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения =3, =1. Это значит, что = .

4) Составим общее решение неоднородного уравнения .

Ответ. Общее решение = + .

Пример 2.7. Решить уравнение , применив «метод неопределённых коэффициентов».

Решение. 1) Характеристические корни уравнения = , = . Общее решение соответствующего однородного уравнения = = .

2) Так как = , частное решение ищем в виде = , где и подлежат вычислению.

3) Найдем производные = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения , . Это значит, что =

4) Составим общее решение неоднородного уравнения .

Ответ. Общее решение: .

Задание 2.5. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение:
2.5.1.	.	2.5.16.	.
2.5.2.	.	2.5.17.	.
2.5.3.	.	2.5.18.	.
2.5.4.	.	2.5.19.	.
2.5.5.	.	2.5.20.	.
2.5.6.	.	2.5.21.	.
2.5.7.	.	2.5.22.	.
2.5.8.	.	2.5.23.	.
2.5.9.	.	2.5.24.	.
2.5.10.	.	2.5.25.	.
2.5.11.	.	2.5.26.	.
2.5.12.	.	2.5.27.	.
2.5.13.	.	2.5.28.	.
2.5.14.	.	2.5.29.	.
2.5.15.	.	2.5.30.	.

2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го
порядков со специальной правой частью

Алгоритм нахождения частного решения неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка со специальной правой частью такой же, как и для неоднородных уравнений 2-го порядка. Отличие состоит лишь в том, что значение показателя в множителе в резонансном случае может быть больше 1.