Последовательность решения задачи

1. Изобразить тело в произвольном промежуточном на траектории положении.

2. Показать все внешние силы, действующие на тело (в т.ч. реакции связей).

3. Провести оси координат. (Во избежание дополнительных затруднений с правилом знаков целесообразно одну ось направить по направлению движения тела).

4. Записать дифференциальное уравнение движения материальной точки в общем виде, после чего раскрыть правую часть уравнения в соответствии со схемой сил.

5. Решить полученное дифференциальное уравнение.

В задачах данного задания тело движется по двум участкам траектории на которых на тело действуют различные системы сил. В связи с этим законы движения тела на участках будут различны и решение задачи необходимо разбить на этапы. На первом этапе рассмотреть движение тела на участке АВ, на втором этапе – на участке ВС. При этом необходимо учитывать, что по условию задачи скорость тела в конце первого является начальной для второго участка траектории.

Если по условию задачи задано не время движения на участке АВ, а длина этого участка, то в дифференциальном уравнении следует произвести замену переменной t на переменную, характеризующую перемещение, например координату z.

Пример решения задачи

Груз массой m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют сила и сила сопротивления среды . С достигнутой на участке АВ скоростью груз в точке В переходит на движение по участку ВС. На этом участке на груз кроме силы тяжести действует сила F, направленная по линии движения груза ( ось X) и сила трения скольжения. Коэффициент трения f.

Найти закон движения груза на участке ВС (рис. Д1.10).

Дано: m=1,6 кг, V₀=18 м/с, Q=4 Н, R=0,4V Н,

t₁=2 с, f=0,2, F=4cos (4t) Н

Определить: закон движения на участке ВС, т.е. x=f(t)

Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. На груз действует: - сила тяжести, - реакция опоры, силы и .

Покажем действующие силы на схеме

Проведем ось АZ по направлению движения груза и составим дифференциальное уравнение в проекциях на эту ось.

(1)

Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, предварительно выполнив необходимые преобразования.

Для сокращения записи подставим числовые значения:

Разделим переменные и проинтегрируем:

(2)

Определим постоянную интегрирования С₁ по начальным условиям:

t = 0, V_Z₀=18 м/с.

Подставим эти значения переменных в уравнение (2):

Уравнение (2) примет вид:

Преобразуем уравнение:

Из равенства логарифмов

Скорость в точке В, для которой t=2с, получим:

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. На груз действует сила: - сила тяжести, - сила трения, - реакция опоры и заданная сила .

Покажем действующие на тело силы на схеме, при этом учтем, что сила трения направлена противоположно движению тела.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось X:

(3)

Определим силу трения:

Для определения силы N запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось Y .

Так как при движении тела вдоль оси X координата Y не изменяется (т.е. Y=const), то и, следовательно, .

Запишем это равенство в соответствии со схемой сил

N-P=0, откуда N=P=mg; F_тр=fmg.

Уравнение (3) примет вид

Разделим переменные и проинтегрируем:

(4)

Начальные условия для участка ВС: t=0, V_X=V_B=6,95 м/с.

Подставим начальные условия в уравнение (4) 6,95=С₂

Учитывая, что и С₂=6,95, уравнение (4) примет вид:

(5)

Определяем С₃ из начальных условий: t=0, X₀=0

0=-0,156+С₃; С₃=0,156

Окончательно уравнение примет вид

Ответ: Закон движения груза на участке ВС

Задача Д2

Механическая система состоит из груза 1 массой m₁, ступенчатого шкива 2 массой m₂ с радиусами R₂, r₂ и радиусом инерции ρ₂, шкива 3 с радиусом R₃ и распределенной по ободу массой m₃, и сплошного катка 4 массой m₄. Тела соединены нитью. К одному из тел присоединена пружина с жесткостью С. При движении на шкив 2 действует момент сопротивления М_С, на тело 1 – сила трения . Коэффициент трения f=0,1.

Система из состояния покоя приходит в движения под действием силы , приложенной к грузу 1.

Значение входящих в условие задачи величин приведены в табл. Д2, схемы механизмов – на рис. Д2.0, ..., Д2.9.

Методические указания

Рассматриваемая задача на определение кинематических характеристик механической системы при действии на нее системы внешних сил и заданном перемещении их системы. Для решения задачи целесообразно применить одну из общих теорем динамики – теорему об изменении кинетической энергии механической системы.

где: Т₀, Т – кинетическая энергия системы в начальном и конечном состоянии,

- сумма работ внешних сил

Последовательность решения задачи

1. Изобразить схему механической системы, показать действующие на нее внешние силы и направление скоростей тел.

2. Записать математическое выражение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

3. Вычислить кинетическую энергию системы в начальном и конечном состояниях.

4. Вычислить сумму работ внешних сил при перемещении системы.

5. Подставить найденные значения кинетической энергии и работы сил в исходное выражение. Вычислить значение искомой кинематической характеристики.

Таблица Д2

№ услов.	m₁, кг	m₂, кг	m₃, кг	m₄, кг	C, Н/м	M_C, Нм	F=f (S), Н	Найти
0	2	4	3	5	200	1,2	80(4+5S)	ω₂
1	8	3	2	6	320	0,8	50(8+3S)	V₁
2	3	5	2	5	240	1,4	60(6+5S)	V_C4
3	4	3	3	4	300	1,8	80(5+6S)	ω₄
4	5	6	3	6	240	1,2	40(9+4S)	V₁
5	6	5	4	4	200	1,6	50(7+8S)	ω₃
6	8	4	3	6	280	0,8	40(8+9S)	ω₂
7	7	4	4	5	300	1,5	60(8+5S)	V₁
8	4	3	2	6	320	1,4	50(9+2S)	ω₄
d9	5	4	3	4	280	1,6	80(6+7S)	Vc4

R₂=0,3 м, r₂=0,1 м, ρ₂=0,2 м, R₃=0,2 м, S₁ =0,1 м

Краткие сведения

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех ее частей T=ΣΤ_K

где: Т_К – кинетическая энергия К-той части системы

Кинетическая энергия твердых тел определяется по формулам:

- при поступательном движении тела,

- при вращательном движении тела,

I – момент инерции тела относительно оси вращения,

- при плоскопараллельном движении тела, где:

V_C – скорость центра масс тела,

I_C – момент инерции тела относительно центра С.

Работа силы вычисляется по формулам:

при ;

при ,

где a - угол между направлением вектора силы и направлением перемещения точки приложения силы.

При решении задачи:

ü линейные и угловые скорости, входящие в формулы кинетической энергии, выразите через искомую скорость;

ü перемещения тел выразите через заданное условием задачи перемещение.

Пример решения задачи

Механическая система (см. рис. Д2.10) состоит из сплошного катка 1 массой m₁, ступенчатого шкива 2 массой m₂ с радиусами R₂, r₂ и радиусом инерции r₂, груза 3 массой m₃ и блоков 4,5. К блоку 5 присоединена пружина с коэффициентом жесткости С. Система приходит в движении под действием силы , приложенной к катку 1. При этом кроме сил тяжести и упругости пружины действуют сила трения груза 3 (коэффициент трения f) и момент сопротивления вращению шкива 2 – М_С.

Определить скорость центра (С₁) катка при перемещении его на расстояние S_1.

Дано: m₁=1 кг, m₂=3 кг, m₃=4 кг, R₂=0,4 м,

r₂=0,2 м, ρ₂=0,3 м, М_С=1,2 Нм, f=0,1.

S=0,1 м, С=100 Н/м, F=50 (4+5S) Н

Определить: V_C1

Решение:

1. Изобразим схему механической системы и покажем все действующие на нее внешние силы (рис. Д2.10)