Критерии проверки и оценка решений задания 18
Задание №18 – это уравнение, неравенство или их системы с параметром.
Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:
– чисто алгебраический способ решения;
– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.
Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.
Задача 18 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Найдите все положительные значения , при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом , а если , то оно задаёт окружность с центром в точке таким же радиусом
(см. рисунок).
При положительных значениях уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .
Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как
, то .
При или окружности и не пересекаются.
|
|
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются.
Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как , то .
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа и .
Ответ: .
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано | 3 |
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Задача 1.
|
|
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению при условии .
Решим уравнение :
; ; , откуда , или .
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны
и для каждого из них выполнено условие .
Рассмотрим условия совпадения корней. При имеем .
При имеем . При остальных значениях числа 0,
, различны.
При получаем: при всех значениях .
При получаем: .
Это выражение неотрицательно при .
При получаем: .
Это выражение неотрицательно при .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
; ; .
Ответ: ; ; .
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Получены корни уравнения : , , ; и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии ( ) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Задача 2.
|
|
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если , то получаем уравнение
;
;
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .
2) Если , то получаем уравнение
; ; .
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .
Полученные окружности пересекаются в двух точках и , лежащих на прямой , поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках и , во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен .
При прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.
При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
|
|
При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке
и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При или прямая пересекает каждую из дуг и в точке
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.
При прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
При прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при .
Ответ: .
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или | 3 |
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Задача 3.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение.
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения , для которых выполнено условие .
При уравнение принимает вид
и задаёт на плоскости луч с началом в точке . При уравнение принимает вид и задаёт луч
с началом в точке . Значит, уравнение имеет два корня при , имеет один корень при и не имеет корней
при .
Уравнение задаёт параболу .
Координаты точек пересечения параболы с лучом являются решениями системы:
Значит, парабола пересекается с лучом в точках
и .
Координаты точек пересечения параболы с лучом являются решениями системы:
Значит, парабола пересекается с лучом в точках
и .
Следовательно, условие выполнено для корней уравнения при всех , кроме , , и .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при ; ; ; ; .
Ответ: ; ; ; ; .
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки | 3 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек , и / или , или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек , и / или , ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 87; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!