Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, т. е, в виде S = S ( x ), a ≤ x ≤ b_t то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями х = а и x = b , находится по формуле

2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f ( x ) и прямыми y = 0, х = а, x = b , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле

Если фигура, ограниченная кривыми y ₁ = f ₁ ( x ) и y ₂ = f ₂ ( x ) [0 ≤ f ₁ ( x )≤ f ₂ ( x )| и прямыми х = а,

х = b , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

1626. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у² = (х— 1)³ и прямой х = 2 (рис. 43).

Рис. 43

Решение. Имеем

(куб. ед.)

16 27 . Найти объем тела, в основании которого лежит равнобедренный треугольник с высотой h и основанием а. Поперечное сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента (рис. 44).

Рис. 44

Решение. Имеем |AВ| = a, |ОС| =h, |MK | = | DE |, | OK |= x . Выразим площадь поперечного сечения как функцию от х, для чего предварительно найдем уравнение параболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих треугольников, а именно:

|DE|/a=(h-x)/h, т. е. |DE|=a(h-x)/h =|MK|

Положим | DE |= m , тогда уравнение параболы в системе координат uKv примет вид v = m -(4/ m ) u ². Отсюда находим площадь поперечного сечения данного тела:

или

Таким образом,

Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями:

1628 .

1629.

1630.

1631.

1632. Найти объем тела, ограниченного плоскостями х = 1,х = 3, если площадь его поперечного сечения обратно пропорциональна квадрату расстояния сечения от начала координат, а при х = 2 площадь сечения равна 27 (кв. ед.)

1633. Найти объем цилиндрического клина по его размерам, указанным на (задача Архимеда).

1634 . В цилиндрический стакан с водой вложен параболоид вращения вершиной вниз. Основание и высота параболоида совпадают с основанием и высотой цилиндра. Найти объем оставшейся в стакане воды, если радиус основания равен r , а высота равна h.

§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Если дуга гладкой кривой у = f (х) (а≤х≤b) вращается вокруг оси Ox , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

. Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х( t ), y =( t ), ( t₁≤t ≤ t ₂ )

то

1635. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги синусоиды у= sin2x от х = 0 до х = π/2.

Решение. Находим y' = 2 cos 2 x ; тогда

Произведем замену переменной: 2со s 2 x = t , — 4 sin 2 x dx = dt , sin 2 xdx = (— 1/4) dt . Найдем пределы интегрирования по t : если х=0, то t = 2; если х = π /2, то t = — 2. Таким образом,

(кв. ед.).

Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси Ох дуг кривых:

1636. y = 2 ch ( x /2) от x = 0 до x = 2.

1637. у = х³ от x = 0 до х=1/2.

1638. х² / a ² + y ² / a ² =1

1639. x = t — sin t , у=1— cost (площадь, образованную вращением одной арки).

Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 230; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 34

Мы поможем в написании ваших работ!