ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Площадь криволинейной трапеции, ограниченно  кривой y = f ( x ) [ f ( x )≥0], прямыми х = а и х = b и отрезком [а, b ] оси Ох, вычисляется по формуле

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁ (х)  и y = f ₂ (х)  [ f₁≤f ₂ ( x )] и прямыми х = а и х = b , находится по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), то пло­щадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х = а, х = b и отрезком [а, b ] оси Ох, выражается формулой

,

где t ₁ и t ₂ определяются из уравнений a = x ( t ₁ ), b = x ( t ₂ ) [ y ( t ) ≥0 при t ₁≤t ≤t₂ ].

 Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в поляр­ных координатах уравнением р = р(0) и двумя полярными радиусами θ = α, θ = β (α < β), выражается интегралом

1592. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х — x² и осью Ох.

Решение. Парабола пересекает ось Ох в точках 0(0; 0) и М (4; 0). Следо­вательно,

 (кв. ед.).

 

1593. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-1) ²и гиперболой

x²-y²/2=1.

Решение. Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместно уравнения этих кривых:

или

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители: , откуда x₁=1, x₂=3 и y₁=0, y₂=4. Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках A(1;0) и B(3;4). Следовательно,

 

1594. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = 2( t — sint ), y = 2( t — cos t) и осью Ох.

Решение. Здесь dx = 2(1— cost ) dt , a t изменяется от t₁ = 0 до t₂ = 2 π . Следовательно,

 (кв. ед.).

 

1595. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемниска­той p² = 2cos2θ.

Решение. Четвертой части искомой площади соответствует изменение θ от 0 до π/4, а потому

 (кв. ед.).

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

1596.   у = — х², x + y +2=0

1597.  (I четверть).

1598. .

1599.  (I четверть).

1600. .

1601. .

1602. .

1603. .

1604. .

1605. .

1606. .

1607.  (справа от луча θ = π /2).

1608.  (площадь одной петли).

1609.  (вне круга р=1).

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Если кривая y = f ( x ) на отрезке [а, b ] — гладкая (т. е. производная y ' = f ( x ) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

При параметрическом задании кривой x = x ( t ), y = y ( t ) [ x ( t ) и у ( t ) — непре­рывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая моно­тонному изменению параметра t от t_l до t ₂ , вычисляется по формуле

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением р=р(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна

 

1610. Найти длину дуги кривой y² = х³ от x=0 до x=1 (y≥0).

Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем у' = (3/2) x^1/2. Таким образом,

1611. Найти длину дуги кривой x = cos ⁵ t , y = sin ⁵ t от t ₁ = 0  до t ₂ =π/2

Решение. Найдем производные по параметру t : х=—5 cos⁴ t sin t , у = 5 sin⁴t cos t . Следовательно,

 

1612. Найти длину дуги кривой р = sin ³ (θ/3) от θ₁ = 0 до θ₂ = π /2.

Решение. Имеем р' = sin² (θ /3) cos (θ /3). Следовательно,

 

Вычислить длины дуг кривых:

1613. y = ln sin x от x = π /3 до x = π /2.

1614.     между точками пересечения с осью Ох.

1615. у = х²/2 от x = 0 до х=1.

1616. y =1- ln cos x от x = 0 до х = π /6.

1617. y = ch x от x =0 до x =1

1618. x = t ³ /3- t, y = t ² +2 от t = 0 до t = 3.

1619.  x=e^tcost, y = e^tsint от t = 0 до t = ln π .

1620. x = 8sint+6cost , y=6sint – 8cost x = 0 до х = π /2

1621. x = 9( t — sint ), y = 9( l — cost ) (длину дуги одной арки циклоиды).

1622. ρ=θ² от θ = 0 до θ = π.

1623. ρ = a sin θ.

1624. ρ = a cos³(θ /3) от θ =0 до θ = π /2.

1625.  ρ = l-cos θ.

 

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

---

Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!