Вопросы и упражнения для самостоятельной работы (самоконтроля)

Из каких составляющих складывается переходный ток?
Что такое установившийся ток? Как называется соответствующая функция в математике?
Что такое свободный ток? Как называется соответствующая функция в математике?
По какой причине в цепи, в которой нет источников электрической энергии, могут возникать свободные токи?
Из каких составляющих складывается свободный ток? От чего зависит количество этих составляющих?
Что такое характеристическое уравнение? Как связана степень характеристического уравнения с порядком соответствующего дифференциального уравнения?
Запишите обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и соответствующее ему характеристическое уравнение.
Свободный ток представляет собой сумму экспоненциальных функций. Могут ли некоторые из экспонент иметь комплексные показатели, или эти показатели обязательно должны быть действительными числами?

Классический метод расчёта переходных процессов

И 1.10

Расчет переходного процесса классическим методом начинается с того, что один из переходных токов ищется в виде суммы установившегося и свободного токов, причём свободный ток ищется в виде суммы экспонент:

(1.6) Затем остальные токи определяются по уравнениям Кирхгофа.

В формуле (1.6) нужно найти функцию (в случае цепи постоянного тока это постоянная), n корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования . Здесь - порядок системы уравнений Кирхгофа. Можно начать расчёт переходного процесса и с одного из переходных напряжений в виде

Здесь использованы те же обозначения, что и в формуле (1.6).

И 1.11

Последовательность расчёта переходных токов 1. Выбрать ветвь в цепи, с тока которой начнем расчет. (Эта ветвь обозначается как к-я ветвь. Вообще говоря, её можно выбрать произвольно). 2. Рассчитать установившуюся составляющую

переходного тока

. 3. Вывести характеристическое уравнение и найти его корни

. 4. Рассчитать режим электрической цепи до коммутации и сформулировать независимые начальные условия с помощью законов коммутации. 5. Определить зависимые начальные условия для тока к-й ветви:

6. Составить и решить систему линейных алгебраических уравнений для постоянных интегрирования

. 7. Подставить найденную функцию

и постоянные

в формулу (1.6) для переходного тока к-й ветви. 8. Найти переходные токи в остальных ветвях цепи с помощью уравнений Кирхгофа.

Примечания к И 1.11. 1. Для расчета установившейся составляющей тока в цепи с источниками постоянного напряжения нужно выбрать подходящий метод, например, метод эквивалентного генератора. Расчет установившейся составляющей тока в цепи с источниками синусоидального напряжения обычно выполняется символическим методом, т.е. сначала вычисляется комплексный ток , а затем соответствующий ему синусоидальный ток .

2. Два обычно принимаемых на практике метода для вывода характеристического уравнения рассмотрены в следующем параграфе.

3. В схеме, содержащей ключ (замыкаемый или размыкаемый), совмещены схемы двух цепей, одна из которых существовала до коммутации, другая возникает в результате коммутации. Начинающим изучать переходные процессы рекомендуется зарисовывать эти схемы отдельно друг от друга и обращаться к одной из них в зависимости от содержания очередного пункта расчёта. В п.4 в И 11 требуется определить токи во всех индуктивностях и напряжения на всех ёмкостях в цепи, существовавшей до коммутации. Если в цепи до коммутации протекали переменные токи, то нужно найти значения токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах в момент коммутации, положив . Эти значения токов и напряжений сохраняются в момент коммутации и составляют независимые начальные условия .

4. Требуемые значения зависимых начальных условий (п.5 в И 11) определяются с помощью системы уравнений Кирхгофа, составленных для цепи, получившейся в результате коммутации. Эти уравнения нужно записать для момента коммутации (т.е. положить в них ), подставить в них независимые начальные условия и найти нужные значения зависимых начальных условий. Может оказаться, что в системе уравнений Кирхгофа не содержатся старшие производные искомого тока, например, Тогда систему уравнений нужно продифференцировать столько раз, сколько потребуется, чтобы в ней появились нужные старшие производные, а затем уже положить . Подробности смотрите в приведённых ниже примерах и задачах.

5. Система уравнений для постоянных интегрирования получается, если приравнять зависимые начальные условия их выражениям, следующим из формулы (1.6):

… … …

Обратите внимание, что в эти уравнения кроме зависимых начальных условий в левых частях содержатся начальные значения производных установившего тока в правых частях уравнений. Установившийся синусоидальный ток приходится дифференцировать нужное число раз; производные установившегося постоянного тока, разумеется, равны нулю. Детали расчётов смотрите в примерах и задачах.

Пример 1.2. Отключение катушки от источника напряжения. Катушка с параметрами отключается от источника синусоидального напряжения как показано на рис.1.7. После отключения в контуре, содержащем элементы в течение некоторого промежутка времени протекает переходный (свободный) ток. Требуется определить напряжение на катушке

Рис.1.7. Схема коммутации (а), схема цепи до коммутации (б) и её схема после коммутации (в) – источник отключён

Решение. В цепи, получившейся в результате коммутации, протекает переходный ток . Так как в этой цепи нет источника электрической энергии, установившаяся составляющая тока равна нулю,

Переходный процесс описывается уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа по рис.1.7 в,

(1.7)

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

следовательно,

В момент коммутации ток в катушке непрерывен согласно первому закону коммутации:

где - значение тока (протекавшего через катушку до коммутации) в момент коммутации . Определим величину , для этого предварительно нужно рассчитать ток .

так как амплитуда тока в катушке обратно пропорционально её полному сопротивлению и ток остается от приложенного напряжения, равного ЭДС, на угол

Очевидно, что

(1.8)

Решение уравнения (1.7) следует искать в виде

причём . Значение постоянной определяется по формуле (1.8), следовательно,

Ток убывает от максимальной величины в момент коммутации до нуля по экспоненциальному закону. Напряжение на катушке

Зависимые начальные условия здесь не потребовались.

Дополнение к примеру. Напряжение на катушке максимально в момент коммутации, как и ток :

Величина зависит от фазы синусоидальной ЭДС в момент коммутации. Если аргумент синуса равен , или

то При напряжения на катушке превышает амплитуду напряжения источника, равную .

Если перед отключением катушки отключить резистор (теоретически ), то на катушке может возникнуть очень высокое напряжение, которое может вызвать электрический пробой межвитковой изоляции катушки. На практике опасность пробоя снижается благодаря появлению электрической дуги (искры) между контактами размыкаемого ключа.

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!