Вопросы и упражнения для самостоятельной работы (самоконтроля)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
Блок 1
Переходные процессы в линейных электрических цепях
Уравнения переходных процессов
Любое включение, отключение или переключение в электрической цепи называется коммутацией. После коммутации, как правило, в цепи возникает переходный процесс, который продолжается в течение небольшого промежутка времени. После прекращения переходного процесса наступает установившийся режим. В цепях с источниками постоянного напряжения в установившихся режимах протекают постоянные токи, а в цепях с источниками синусоидального напряжения - синусоидальные токи.
Переходные процессы протекают в цепях, содержащих реактивные элементы. В течение переходного процесса происходит перераспределение энергии между реактивными элементами. После того как энергия реактивных элементов принимает значения, необходимые для существования установившегося режима, или начинает изменяться по такому же закону, как в установившемся режиме, переходный процесс прекращается. Если в момент коммутации значения энергии реактивных элементов соответствуют установившемуся режиму, переходный процесс не возникает.
| И 1.1 | Переходные процессы описываются уравнениями Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений. |
Законы Кирхгофа дают алгебраические уравнения. После того как напряжения на реактивных элементах будут выражены через их токи, часть уравнений превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее решение дифференциальных уравнений содержит неопределенные постоянные (постоянные интегрирования), для вычисления которых требуются дополнительные условия.
|
|
|
| И 1.2 | Обычно отсчет времени начинается с момента коммутации, т.е. в момент коммутации  Дополнительные условия, необходимые для определения постоянных интегрирования, формулируются для этого момента времени и называются начальными условиями.
|
Пример 1.1. Зарядка конденсатора от источника постоянного напряжения
Переходный процесс в цепи, показанной на рис. 1.1, описывается уравнением второго закона Кирхгофа
или после подстановки выражений для напряжений через ток
(1.1)
где 
- начальное напряжение на конденсаторе (пропорционально его заряду до замыкания ключа).
Рис. 1.1. Подключение конденсатора к источнику постоянного напряжения
Продифференцируем уравнение (1.1) по переменной 
; так как 
то
(1.2)
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
(1.3)
|
|
|
где A и p – неизвестные постоянные. Подставим выражение (1.3) в уравнение (1.2):
или 
следовательно,
Для определения постоянной 
необходимо начальное условие. Допустим, что перед включением конденсатор не был заряжен, т.е. 
Уравнение (1.1), записанное для момента включения 
принимает вид
следовательно, 
Это и есть необходимое начальное условие.
Из формулы (1.3), полагая, что получаем 
Таким образом, 
т.е.
.
Подставим в выражение (1.3) для тока найденные постоянные:
.
На рис.1.2 показан график этой функции (экспонента).
Рис.1.2. Ток зарядки конденсатора и напряжение на нём в ходе переходного процесса
Величина 
имеет размерность времени и называется постоянной времени (экспоненты и соответствующей цепи). За промежуток времени 
переходный ток уменьшается в 
раз. Действительно,
.
Спустя промежуток времени 
переходный процесс практически прекращается, ток сохраняет незначительную часть своего начального значения ( 
). На рис.1.2 показано что касательная, проведенная к любой точки экспоненты, отсекает на оси времени отрезок, соответствующий постоянной времени .
Напряжение на конденсаторе можно определить по второму закону Кирхгофа:
|
|
|
(график см. на рис.1.2). После прекращения переходного процесса ( 
) конденсатор заряжен, напряжение на нём равно напряжению источника 
.
Вопросы и упражнения для самостоятельной работы (самоконтроля)
1. Что такое коммутация?
2. В каких случаях в электрических цепях возникают переходные процессы?
3. В каких случаях в линейных цепях с источниками постоянного напряжения могут возникнуть переменные токи?
4. В каких случаях в линейных цепях с источниками синусоидального напряжения могут возникнуть несинусоидальные токи?
5. В каких цепях не бывает переходных процессов?
6. В каком случае в цепи, содержащей реактивные элементы, не возникает переходный процесс?
7. Какими уравнениями описывается переходные процессы?
8. Запишите уравнение, описывающее переходный процесс, который возникает при включении лабораторной катушки (с известными параметрами 
и 
) в цепи постоянного напряжения.
9. Обязательно ли при расчёте переходного процесса начинать отсчёт времени с момента коммутации?
10. Что такое начальные условия? Почему они необходимы для расчёта переходных токов?
Законы коммутации
| И 1.3 | С помощью двух законов коммутации формулируются начальные условия, необходимые для определения постоянных интегрирования дифференциальных уравнений. |
1.2.1. Первый закон коммутации
|
|
|
| И 1.4 | Ток в индуктивности в момент коммутации непрерывен, 
|
Комментарий. В формулировке закона речь идёт о токе в индуктивности, хотя можно было бы говорить о токе в идеальной катушке. Дело в том, что в схемах замещения электротехнических устройств появляются индуктивности (идеальные катушки) там, где нет никаких признаков лабораторной катушки. Например, в конденсаторе, через который протекает переменный ток, возникает магнитное поле. Обычно на него не обращают внимания, но в устройствах с токами сверхвысоких частот или очень быстро изменяющимися импульсными токами пренебрегать этим магнитным полем нельзя. Тогда в схему замещения конденсатора вводят индуктивность так, чтобы запасенная в ней энергия равнялась энергии магнитного поля.
Математическая запись непрерывности тока утверждает равенство пределов слева 
и справа 
. Вследствие их равенства для них можно использовать общее обозначение 
Графическую иллюстрацию см. на рис.1.3.
Рис.1.3. Непрерывность тока 
в момент коммутации 
Обоснование. Напряжение на идеальной катушке (индуктивности) по определению равно
Если допустить скачок тока (разрыв первого рода), то напряжение устремляется в бесконечность (испытывает разрыв второго рода). Уравнения второго закона Кирхгофа, в которые входит 
, теряют смысл. Основные законы теории цепей и выводы, которые из них следуют, в такой ситуации становятся, по меньшей мере, сомнительными.
Кроме того, при скачке тока изменяется скачком энергия, запасённая в магнитном поле катушки,
При этом теряет смысл баланс мощностей (мощности как производные энергии по времени устремляются в бесконечность).
Математический аппарат теории цепей сохраняется, если отказаться от скачков токов в идеальных катушках схем замещения, для чего и был принят первый закон коммутации.
1.2.2. Второй закон коммутации
| И 1.5 | Напряжение на ёмкости в момент коммутации непрерывно, 
|
График, иллюстрирующий второй закон коммутации, показан на рис.1.4.
Рис.1.4. Непрерывность напряжения 
в момент коммутации 
Комментарий. Вместо напряжения на ёмкости, вообще говоря, можно подразумевать напряжение на идеальном конденсаторе схемы замещения. Некоторая двусмысленность терминологии объясняется тем, что идеальные конденсаторы иногда появляются в схемах замещения там, где нет ничего похожего на технический конденсатор. Например, между витками лабораторной (технической) катушки существует электрическое поле. В устройствах с токами сверхвысоких частот или очень быстро изменяющимися токами это поле существенно влияет на происходящие процессы. Два прижатых друг к другу витка работают не только как катушка, но и как конденсатор. В схему замещения катушки вводят межвитковые ёмкости.
Обоснование. По определению через идеальный конденсатор (ёмкость) протекает ток
При изменении напряжения скачком 
Уравнения первого закона Кирхгофа, в которые входит 
теряют смысл. Становится неопределенным баланс мощностей, так как скачком изменяется энергия, запасённая в электрическом поле конденсатора
Законы теории цепей остаются справедливыми в их классической формулировке, если отказаться от скачков напряжения на конденсаторах (ёмкостях).
1.2.3. Независимые и зависимые начальные условия
Значения всех токов за исключением токов в индуктивностях и значения всех напряжений за исключением напряжений на ёмкостях в момент коммутации могут изменяться скачком (испытывать разрыв первого рода). На рис. 1.5 показан возможный вариант изменения тока, протекающего через конденсатор (см. также рис. 1.2). Здесь начальное значение тока 
приравнивается пределу функции 
справа в момент времени 
, но 
Рис.1.5. Разрыв первого рода (скачок) тока 
в момент коммутации
Для определения постоянных интегрирования в выражениях для переходных токов и напряжений могут потребоваться начальные значения ряда производных тока или напряжения. Следует иметь в виду, что в момент коммутации производные любых токов и напряжений могут изменяться скачком. Начальное значение производной любого порядка – это значение её предела справа при .
| И 1.6 | Начальные значения токов и напряжений, полученные с помощью законов коммутации, называются независимыми начальными условиями. Начальные значения остальных токов и напряжений, а также производных любого порядка от всех токов и напряжений относятся к зависимым начальным условиям. |
Зависимые начальные условия рассчитываются с помощью уравнений Кирхгофа, описывающих переходный процесс, после того как установлены независимые начальные условия. При этом уравнения Кирхгофа нужно записать для начального момента времени, т.е. принять в них .
Замечание о некорректных начальных условиях. Процесс, протекающий в электрической цепи после коммутации, зависит от того, что происходило в цепи до коммутации. Законы коммутации позволяют связать характеристики докоммутационного режима, достигнутые к моменту коммутации, со стартовыми условиями переходного процесса. При обосновании законов коммутации упор был сделан на то, чтобы в момент коммутации выполнялись законы Кирхгофа. Тем неменее, принятая выше формулировка законов коммутации не гарантирует выполнения этих законов в момент коммутации.
Рассмотрим простой пример. В цепи, схема которой показана на рис.1.6, происходит отключение двух параллельно соединенных лабораторных катушек от источника постоянного напряжения. В момент, непосредственно предшествующий коммутации, согласно первому закону Кирхгофа 
Сразу после коммутации 
Переход от первого равенства ко второму возможен только при скачкообразном изменение токов в момент , т.е., требуя соблюдения первого закона Кирхгофа, мы не можем обеспечить выполнение первого закона коммутации (И 1.4).
Рис.1.6. Отключение катушек от источника напряжения.
Первый закон коммутации не выполняется
Чтобы устранить возникшее противоречие, можно изменить схему замещения цепи, например, так, чтобы учесть то обстоятельство, что процесс размыкания ключа происходит не мгновенно, а в течение конечного промежутка времени (при этом сопротивление третьей ветви увеличивается от 
до бесконечности по некоторому закону, который нужно конкретизировать). Этот путь ведёт к сочинению теории, не имеющей практического значения. Практичнее изменить формулировку законов коммутации. Так и поступают в теории цепей. Этот усложненный вариант теории переходных процессов в настоящем пособии не рассматривается.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 50; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!