Вынужденные колебания без сопротивления среды. Резонанс.

уравнение вынужденных колебаний примет вид:

В случае совпадения частоты возмущающей силы p и частоты свободных гармонических колебаний k, называемойсобственной частотой, возникает явление резонанса.

при резонансе возникают колебания с частотойp=k, размахи которых с течением времени возрастают неограниченно, причем увеличение размахов пропорционально времени.

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется амплитудной резонансной кривой.

7. Вынужденные колебания с учётом сопротивления среды.

При движении точки в среде без сопротивления (n = 0) получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

x + k² x = h sin( pt + б ),

где б - начальная фаза возмущающей силы.

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находится как сумма общего решения x* = А sin(kt + а) однородного урав

нения (собственные колебания точки) и частного решения

x“ = ^—уsin(pt + б) неоднородного уравнения (вынужденные колебания k² - p²

точки). Тогда

x = A sin( kt + а ) + —---------- у sin( pt + б ),

k² - p²

h ₍ „ _w

где —2----- у = А_в - амплитуда вынужденных колебаний.

k² - p²

Основное уравнение динамики относительного движения точки

Основное уравнение динамики в неподвижной системе

. (25)

Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса

, (26)

где a_абс – абсолютное ускорение;

a_отн – относительное ускорение;

a_пер – переносное ускорение;

a_кор – кориолисово ускорение.

Перепишем (25) с учетом (26)

. (27)

Введем обозначения - переносная сила инерции, - кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид

. (28)

Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

До сих пор изучалось движение материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета, т. е. системы отсчета, где справедливы законы Ньютона. Во многих случаях задачи динамики сводятся к исследованию движения в той или иной неинерциальной системе. Рассмотрим движение точки по отношению к подвижной системе отсчета

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки будет иметь вид

, (4.1)

где – ускорение точки относительно подвижной системы отсчета

Относительное движение материальной точки происходит под действием приложенных к точке сил, при условии, что к ним присоединены переносная и Кориолисова силы инерции.

При этом переносная и Кориолисова силы инерции – это векторы, численно равные произведению массы точки на ее переносное и Кориолисово ускорения. Направление сил инерции противоположно направлению одноименных им ускорений.

Условие относительного покоя можно получить из основного уравнения динамики относительного движения материальной точки путем подстановки в указанное уравнение нулевых значений и :

, (4.2)

Основной закон относительного движения материальной точки.

Рассмотрим движение материальной точки относительно неинерциальной системы координат, т.е. относительно системы координат, движущейся произвольным образом относительно неподвижной.

В случае сложного движения точки абсолютное ускорение определяется по теореме Кориолиса:

a = a_e + a_r + а_с, (1)

где a_e - переносное ускорение, ^a_r - относительное ускорение, ^ас - ускорение Кориолиса.

Умножим равенство (1) на массу движущейся материальной точки:

ma = ma_e + ma_r + ma_k.

Выделим в подученном равенстве слагаемое, характеризующее относительное движение материальной точки

ma_r = ma - ma_e - ma_c

В соответствии со вторым законом Ньютона заменим ma — F , где F - равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке.

Введем обозначения: ^Ф_е ^— -^ma_e, Ф_с — -ma_o.

Тогда

ma_r — F + Ф_е + Ф_с (2)

Вектор Ф_е — - ma_e называется переносной силой инерции, вектор ^Ф_с ^— -^та_с - силой инерции Кориолиса.

Равенство (2) представляет собой основной закон относительного движения материальной точки:

Относительно неинерциальной (подвижной) системы отсчета материальная точка движется так, как будто к ней, кроме действующей силы, приложены переносная сила инерции и сила инерции Кориолиса.

Векторы ^Ф_е и ^Фс можно рассматривать как поправки ко второму закону

Ньютона для материальной точки, движение которой рассматривается относительно неинерциальной системы отсчета.

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 516; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!