Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.
проекция |
y2 |
y1 |
· A(x1, y1, z1) |
y |
x |
z |
О |
В (x2, y2, z2) |
пр OY АВ= y1- y2, пр OX АВ= x1- x2, пр OZ АВ= z1- z2.
Вывод: проекции вектора на координатные оси совпадают с координатами вектора.
Условие коллинеарности двух векторов.
а |
b |
Возьмем два коллинеарных вектора а= (ах, ау, а z ) ║b = ( bx , by , bz ).
b = λ a.
В координатной форме:
Сравнивая соответствующие координаты первые, вторые и третьи получим:
.
Условие коллинеарности: Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.
Замечание: если одна из координат вектора равна 0, то у коллинеарного вектора соответствующая координата тоже равна 0.
Скалярное произведение векторов.
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на косинус угла между векторами.
По определению: a • b = │ a │·│ b │· cos φ.
, .
, .
- связь между скалярным произведением и проекцией вектора на вектор.
Свойства скалярного произведения.
1° коммутативность: a • b = b •· a.
a • b= │a│·│b│· cos φ= │b│·│a│· cos φ= b • a.
2° условие перпендикулярности: a • b = 0, т.к. a ┴ b или a или b= 0.
1. a ┴ b, φ = 90°, cos 90°= 0, a • b= │a│·│b│·0= 0.
|
|
2. a= 0, │a│= 0, a • b= 0 ·│b│· cos φ= 0 .
3° (λa)•b= λ(a•b).
(λa)•b= │λa│·│b│· cos φ=λ│a│·│b│· cos φ= λ(a•b).
4° a•(b + c)= a•b + a•c.
a•(b + c)= │a│· (b + c)= │a│·( пра b + пра c)= │a│· пра b +│a│· пра c=
= a • b + a • c.
5° скалярный квадрат: а • а= │ a │2.
а • а=│ a │·│а│· cos 0°=│ a │2.
Следствие: .
Скалярное произведение координатных ортов.
i × j= 0, так как i ^ j (из 2°);
i × k= 0, так как i ^ k (из 2°);
k × j= 0, так как k ^ j (из 2°);
i × i=│i│2 = 12=1;
j × j=│j│2 = 12=1;
k × k=│k│2 = 12=1.
Скалярное произведение в координатной форме.
Возьмем два вектора в координатной форме
а= (ах, ау, а z )= axi + ayj + azk , b = ( bx , by , bz )= bxi + byj + bzk.
a • b = ( axi + ayj + azk )•( bxi + byj + bzk )= axi • bxi + axi • byj + axi • bzk + ayj • bxi +
+ ayj• byj + ayj •bzk + azk •bxi + azk•byj + azk •bzk = ax bx i• i + ax by i•j + ax bz i•k+
+ay bx i• j + ay by j• j + ay bz i• k + az bx i•k + az by k• j + az bz k•k=
= ax bx + ay by + az bz.
Если векторы заданы в координатной форме, то для вычисления скалярного произведения используем формулу:
a • b= ax bx + ay by + az bz.
Приложения скалярного произведения.
1) Угол между векторами:
.
Ðj - острый, cos j> 0, отсюда следует, что a • b > 0.
Ðj - тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a • b < 0.
Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a • b = 0.
|
|
2) Проекция вектора на вектор:
.
Векторное произведение двух векторов.
Определение: Векторным произведением a ´ b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами:
1° │с│=│ a │·│ b │· sin φ, где Ðj= a,b;
2° вектор c ^ a , c ^ b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b;
3° кратчайший поворот от вектора a к b , видимый с конца вектора с будет против часовой.
Свойства векторного произведения:
1° антикоммутативность: a ´ b = - b ´ a .
a ´ b= с , b ´ a= - с .
2° ( λ a) ´ b= λ (a ´ b).
3° a ´ (b + с )= a ´ b + a ´ с.
4° a ´ а = 0.
│ a ´ а │=│ a │·│а│ sin 0°= 0. Отсюда следует, что a ´ а= 0.
Векторные произведения координатных ортов.
i |
k |
j |
Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по стрелке получим третий орт, причем взятый с «+», если поворот против часовой стрелки, и берется с «-», если по часовой стрелке.
i´j= k,
i´k= -j,
j´k= i,
j´i= -k,
i´i= 0.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 466; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!