ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
Затухающие электромагнитные колебания
И дифференциальное уравнение и его решения.
Х арактеристики
Рассмотрим электрическую цепь содержащую последовательно соединенные R, L, C т.е. реальный контур R ≠ 0. Энергия частично расходится на нагревание проводников, поэтому колебания будут затухать.
Согласно закону Ома для замкнутого контура
; 
;
где 
- напряжение на конденсаторе; 
- ЭДС самоиндукции в контуре. 
. Учитывая, что 
электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника в единицу времени.
; 
; 
; 
;
; 
.
(12.1.1)
-линейное дифференциальное уравнение второго порядка затухающих колебаний.
Из анализа уравнения видно, что наличие сопротивления в цепи контура приводит к тому, что амплитуда колебаний заряда зависит от времени, поэтому будем искать решение уравнения (12.1.1) в виде.
, (12.1.2)
где 
- амплитуда не является постоянной величиной.
Продифференцируем по времени уравнение (12.1.1) и найдем 
и 
= 
.
Продифференцируем по времени еще раз
.
Подставим значение 
и 
в уравнение (12.1.1)
.
Приведем подобные члены
[( 
)] 
-[ 
] 
.
Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых значениях t необходимо равенство нулю коэффициентов при 
и 
Тогда 
(1)
|
|
|
(2)
Из (2) 
. (12.1.3)
Проинтегрируем это выражение 
.
- изменение амплитуды заряда в реальном колебательном контуре.
Перепишем еще раз уравнение (12.1.3)
1. 
- продифференцируем по времени.
2. 
- делаем замену и получим
3. 
.
В уравнение (1) подставим и ; 
.
Разделим выражения на q 
; 
; 
; 
; 
- частота затухающих колебаний.
При условии что 
, величина 
будет существенной и решение дифференциального уравнения (12.1.1)может быть представлено в виде
- уравнение затухающих колебаний,
где 
- коэффициент затухания; 
.
Период затухания 
; 
- период собственных колебаний.
Период колебаний в среде с сопротивлением больше чем период соответствующих колебаний при равных условиях. Вынужденные колебания когда 
, если 
то под корнем мнимая величина не имеет физического смысла. Колебаний не будет.
| |
.
- аналогичен и для напряжения и для силы тока.
Логарифмический декремент затухания – называется логарифм отношения двух последовательных амплитуды отстающих друг от друга на время равное периоду.
|
|
|
/
Время релаксации:
$ 
?
где N - число колебаний, в течение которых амплитуда 
уменьшается в e раз.
Добротность колебательного контура
- или с учетом 
=> 
.
Вынужденные электромагнитные колебания
Чтобы вызвать вынужденные колебания в электромагнитном контуре, в него нужно включить последовательного с элементами контура переменную ЭДС или подать переменное напряжение (рис. 12.2.1).
. (12.2.2)
Колебательный процесс под действием внешних периодически изменяющихся величин называется вынужденными колебаниями
.
В этом случаи 
или после преобразований
; 
; 
;
;
; 
/:L;
(12.2.3)
- неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Для установляющихся колебаний решения уравнения (12.2.3)
|
|
|
, (12.2.4)
где 
- максимальный заряд (амплитуда заряда).
Так как 
выражаем для амплитуды заряда 
После подставим значения 
; 
получим выражения для фазы и амплитуды заряда.
- амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора для конкретного контура в уравнении (12.2.4).
Согласно формуле 
- полное электрическое сопротивление;
R - активное сопротивление – омическое сопротивление;
- емкостное сопротивление, физическая сущность его, в том, что имеющихся на пластинах конденсатора заряды оказывают сопротивление (препятствуют) поступлению на пластины новых зарядов, если 
∞, то 
, так постоянная 
, то 
∞;
- индуктивное сопротивление, его физическая сущность показывает, что в проверке с переменным током возникает ЭДС соленоида, следовательно, и I-индуктивный ток, уменьшающий величину тока в цепи, или препятствуют изменению основного тока, чем больше 
и 
тем больше 
;
- резонанс реактивного сопротивления.
Р езонанс напряжения и тока
Явление резонанс возникает при частоте
≤ 
. (12.3.1)
Как и в случае механических колебаний, максимальная амплитуда тем больше, чем меньше сопротивление контура.
|
|
|
Резонансные кривые напряжения приведены на рис. 12.3.1. Когда 0, т.е. контуру приложено практически постоянное напряжение, напряжение на обкладках конденсатора постоянно.
Из формулы (12.3.1) следует, что ток в контуре будет максимальным при условии
или 
. (12.3.2)
Таким образом, максимальная величина тока в контуре при любом сопротивлении возникает при частоте колебаний, равной собственной частоте колебаний контура ( 
), то ток в нем будет равен нулю.
Резонансные кривые для тока в контуре приведены на рис. 12.3.2.
|
Величина амплитуды тока при резонансе кривых тока зависит от величины активного сопротивления R контура.
Отметим, что если к контуру подведено постоянное напряжение ( ), то ток в нем будет равен нулю.
Лекция 13
В о л н ы
Рассматривая механические колебания, мы не рассматривали процессов, происходящих в среде, окружающей колебательную систему (осциллятор).
Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом или волной.
При распространении волны не происходит перемещение массы вещества, частицы совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества.
Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: упругие (механические), поверхностные и электромагнитные волны.
Упругой волной называются распространяющиеся в упругой среде механические возмущения (деформации).
О бразование упругих волн
Рассмотрим процесс возникновения упругих (механических) волн. Механические волны возникают в упругих средах.
Упругой называется среда, частицы которой связаны друг с другом силой упругости (Fупр= - k x).
Осциллятор, помещенный в упругой среде за счет упругих сил связи, будет увлекать за собой, и приводить в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Последние, в свою очередь, будут воздействовать на соседние частицы, и приводить их также в колебательное движение и т.д. (рис. 13.1.1).
При этом существенно то, что начинающие колебания частицы среды будут несколько отставать по фазе от ранее приходящих в движение частиц, передача энергии колебаний от точки к точке всегда осуществляется с конечной скоростью, характерной для данной среды.
Упругие волны бывают продольные и поперечные.
Поперечными называются волны, у которых частицы колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.
У этих волн происходит чередование горбов и впадин (рис. 13.1.2).
Рис. 13.1.1 Рис. 13.1.2
Продольными называются волны, у которых направления колебаний и распространения волны совпадают.
У этих волн чередуются области сжатия и расширения (рис. 13.1.3).
Рис. 13.1.3
В твердых телах возможны как поперечные, так и продольные волны; в жидкостях и газах – только продольные. Это объясняется тем, что в жидкостях и газах сопротивление сдвигу очень мало. Поэтому частицы, перемещающиеся в направлении, перпендикулярном распространению волны, не могут увлекать с собой соседние частицы.
Упругая волна называется синусоидальной (гармонической), если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими (рис. 13.1.3).
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!