ЗАТУХАЮЩИЕ и ВЫНУЖДЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ

КОЛЕБАНИЯ

Дифференциальное уравнение затухающих

Механических колебаний и его решение

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах.

Исходя из определения свободных колебаний, система, будучи выведена внешними силами из положения равновесия или получив за счет внешних сил первоначальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только возвращающей силы и силы сопротивления среды.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Тогда и скорость системы будет малой. При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости , т.е.

где r – коэффициент сопротивления (r = const).

Знак «минус» показывает, что сила сопротивления направлена в сторону, противоположную скорости.

Согласно второму закону Ньютона, результирующая сила

. (11.1.1)

Учитывая, что F = ma, ускорение а = ,

; .

Тогда уравнение (11.1.1) можно записать в виде:

или .

Введем обозначения .

С учетом введенных обозначений, последнее уравнение запишется в виде:

, (11.1.2)

где - собственная частота, т.е. та частота, с которой совершались бы свободные колебания, если бы коэффициент сопротивления r = 0, т.е. отсутствовало сопротивление.

Наличие сопротивления среды приводит к тому, что амплитуда колебаний зависит от времени. Поэтому решение уравнения (11.1.2) будем искать в виде

. (11.1.3)

Введем новую переменную

. (11.1.4)

1. Возьмем первую производную

. (11.1.5)

2. Возьмем вторую производную

Упростим полученное уравнение

. (11.1.6)

Подставим выражения (11.1.5) и (11.1.6) => (11.1.2)

;

; .

Обозначим

, (11.1.7)

тогда

Решение данного уравнения

Восстановим z через введенную переменную х

тогда

(11.1.8)

- решение дифференциального уравнения затухаючих колебаний,

где – коэффициент затухания;

- амплитуда затухающих колебаний, зависит от коэффициента затухания , и с течением времени убывает по экспоненциальному закону;

А₀ - начальная амплитуда.

Зависимость (11.1.8) показана на (рис. 11.1.2) сплошной линией, а зависимость - штриховыми линиями.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебания, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты.

Рис. 11.1.2

Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода, как промежутка времени между двумя последовательными максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 11.1.2). Тогда период затухающих колебаний равен

Если A ( t ) и A ( t + T ) амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

- логарифмическим декрементом затухания.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая определяется как величина 2п умноженная на отношения энергии в момент времени t к потери энергии за последующий период