Критерий оценивания заданий 21–26.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Точки и — соответственно середины сторон и
квадрата . Отрезки и пересекаются в точке .

а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите , если сторона квадрата равна 1.

Решение.

а) Прямоугольные треугольники и равны
по двум катетам. Значит,

то есть прямые и перпендикулярны. Значит,
в четырёхугольнике углы и прямые, поэтому около него можно описать окружность.

б) Прямоугольные треугольники и равны
по двум катетам, значит,

то есть на хорды и описанной около четырёхугольника окружности опираются равные углы. Таким образом, .

Ответ: б) 1.

Дана равнобедренная трапеция с основаниями и Окружность
с центром построенная на боковой стороне как на диаметре, касается боковой стороны и второй раз пересекает большее основание в точке точка — середина

а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.

б) Найдите если и .

Решение.

а) Треугольник равнобедренный, и трапеция равнобедренная, поэтому

Значит, прямые и параллельны, а так как
— средняя линия трапеции, то параллельны прямые и Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке радиусом касается стороны
в точке В прямоугольных треугольниках и :

, .

Поэтому .

Пусть Поскольку трапеция равнобедренная,

; .

Тогда ,

откуда . Значит, .

Ответ: б) 3.

Точка лежит на стороне выпуклого четырёхугольника , причём и — вершины равнобедренных треугольников с основаниями и соответственно, а прямые и перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах и четырёхугольника пересекаются на стороне .

б) Пусть — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника , если известно, что , а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых и равна 18.

Решение.

а) Пусть — середина отрезка Треугольник равнобедренный, поэтому отрезок является в нём медианой, биссектрисой и высотой. Поскольку прямые и перпендикулярны, прямая содержит среднюю линию треугольника , то есть проходит через середину стороны Аналогично, биссектриса угла тоже проходит через середину стороны Следовательно, биссектрисы углов и четырёхугольника пересекаются
на стороне

б) Пусть прямые и пересекаются в точке а прямые
и — в точке . Тогда четырёхугольник — прямоугольник. Площадь треугольника

Аналогично, Площадь треугольника

Тогда .

Ответ: б) 96.

Точки , и — середины сторон соответственно , и остроугольного треугольника .

а) Докажите, что отличная от точка пересечения окружностей, описанных около треугольников и , лежит на окружности, описанной около треугольника .

б) Известно, что и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются центры окружностей, вписанных в треугольники , и .

Решение.

а) Пусть

— отличная от

точка пересечения окружностей, описанных около треугольников

(рис. 1). Тогда

, откуда

Значит,

, следовательно, точки

лежат на одной окружности.

б) Пусть

— центры окружностей, вписанных в треугольники

соответственно (рис. 2). Заметим, что

как одинаковые элементы в равных треуголь-никах. Значит, треугольники

равны. Кроме того, треугольник

также равен этим треугольникам, поскольку

. Таким образом,

Аналогично, , , поэтому треугольник подобен треугольнику с коэффициентом и радиус описанной около него окружности равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника .