Критерий оценивания заданий 21–26.
Содержание критерия | Баллы |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 2 |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
27 |
Точки и — соответственно середины сторон и
квадрата . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите , если сторона квадрата равна 1.
Решение.
а) Прямоугольные треугольники и равны
по двум катетам. Значит,
,
то есть прямые и перпендикулярны. Значит,
в четырёхугольнике углы и прямые, поэтому около него можно описать окружность.
б) Прямоугольные треугольники и равны
по двум катетам, значит,
,
то есть на хорды и описанной около четырёхугольника окружности опираются равные углы. Таким образом, .
Ответ: б) 1.
28 |
Дана равнобедренная трапеция с основаниями и Окружность
с центром построенная на боковой стороне как на диаметре, касается боковой стороны и второй раз пересекает большее основание в точке точка — середина
а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.
|
|
б) Найдите если и .
Решение.
а) Треугольник равнобедренный, и трапеция равнобедренная, поэтому
Значит, прямые и параллельны, а так как
— средняя линия трапеции, то параллельны прямые и Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, — параллелограмм.
б) Пусть окружность с центром в точке радиусом касается стороны
в точке В прямоугольных треугольниках и :
, .
Поэтому .
Пусть Поскольку трапеция равнобедренная,
; .
Тогда ,
откуда . Значит, .
Ответ: б) 3.
29 |
Точка лежит на стороне выпуклого четырёхугольника , причём и — вершины равнобедренных треугольников с основаниями и соответственно, а прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах и четырёхугольника пересекаются на стороне .
б) Пусть — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника , если известно, что , а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых и равна 18.
Решение.
а) Пусть — середина отрезка Треугольник равнобедренный, поэтому отрезок является в нём медианой, биссектрисой и высотой. Поскольку прямые и перпендикулярны, прямая содержит среднюю линию треугольника , то есть проходит через середину стороны Аналогично, биссектриса угла тоже проходит через середину стороны Следовательно, биссектрисы углов и четырёхугольника пересекаются
на стороне
|
|
б) Пусть прямые и пересекаются в точке а прямые
и — в точке . Тогда четырёхугольник — прямоугольник. Площадь треугольника
.
Аналогично, Площадь треугольника
.
Тогда .
Ответ: б) 96.
30 |
Точки , и — середины сторон соответственно , и остроугольного треугольника .
а) Докажите, что отличная от точка пересечения окружностей, описанных около треугольников и , лежит на окружности, описанной около треугольника .
б) Известно, что и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются центры окружностей, вписанных в треугольники , и .
Решение.
а) Пусть — отличная от точка пересечения окружностей, описанных около треугольников и (рис. 1). Тогда , , откуда Значит, , следовательно, точки , , и лежат на одной окружности. | |
б) Пусть , и — центры окружностей, вписанных в треугольники , и соответственно (рис. 2). Заметим, что , как одинаковые элементы в равных треуголь-никах. Значит, треугольники и равны. Кроме того, треугольник также равен этим треугольникам, поскольку . Таким образом, . |
Аналогично, , , поэтому треугольник подобен треугольнику с коэффициентом и радиус описанной около него окружности равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника .
|
|
Пусть — середина , а и соответственно центр и радиус окружности, описанной около треугольника (рис. 3). Тогда высота равнобедренного треугольника равна , поэтому из прямоугольного треугольника получаем: ; ; ; . Искомый радиус равен . |
Ответ: б) .
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 146; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!