Ответы к заданиям с кратким ответом
Геометрия
| № задания | Ответ |
| 1 | 12 |
| 2 | 5 |
| 3 | 10 |
| 4 | 0,8 |
| 5 | 2 |
| 6 | 3 |
| 7 | 0,28 |
| 8 | 24 |
| 9 | 32 |
| 10 | 164 |
| 11 | 4000 |
| 12 | 0,5 |
| 13 | 10 |
| 14 | 96 |
| 15 | 4 |
| 16 | 40 |
| 17 | 27 |
| 18 | 262 |
| 19 | 125 |
| 20 | 108 |
Решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
| 21 |
В кубе 
все рёбра равны 4. На его ребре 
отмечена
точка 
так, что 
. Через точки и 
проведена плоскость 
параллельная прямой 
.
а) Докажите, что 
, где 
— точка пересечения плоскости 
с ребром 
.
б) Найдите угол наклона плоскости к плоскости грани 
.
Решение.
|
а) Проведём через точку 
прямую, параллельную . Пусть эта прямая пересекает плоскость грани 
в точке 
. Прямая 
лежит
в плоскости 
, значит, точка лежит на диагонали 
. Более того, 
.
Прямая 
пересекает ребро 
в точке 
, принадлежащей плоскости . Треугольники 
и 
подобны, поэтому 
. Значит, 
.
б) Опустим из точки 
перпендикуляр 
на 
. По теореме о трёх перпендикулярах прямые 
и перпендикулярны. Значит, угол 
искомый. Поскольку , получаем 
. В прямоугольном треугольнике 
:
.
Значит, 
.
Ответ: б) 
.
| 22 |
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 60,
а боковое ребро 
равно 37. Точки 
и 
— середины рёбер и 
соответственно. Плоскость 
содержит прямую 
и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость делит медиану 
основания в отношении 
, считая от точки 
|
|
|
б) Найдите расстояние от вершины 
до плоскости .
Решение.
|
а) Прямая 
параллельна плоскости 
, поэтому сечение пересекает плоскость по прямой 
, параллельной 
Рассмотрим плоскость 
Пусть 
— точка пересечения этой плоскости и прямой 
— точка пересечения этой плоскости и прямой , 
— центр основания пирамиды. Плоскости 
и 
перпендикулярны плоскости 
поэтому прямая перпендикулярна плоскости а значит, параллельна прямой 
Поскольку — средняя линия треугольника 
точка 
является серединой 
Следовательно, — середина 
Медиана 
треугольника делится точкой в отношении 
. Значит, 
.
б) Прямая перпендикулярна и , поэтому прямая перпендикулярна плоскости . Прямые и параллельны, значит, расстояние от вершины до плоскости сечения равно расстоянию
от точки 
до плоскости сечения, то есть 
Ответ: б) 
| 23 |
Основанием прямой треугольной призмы 
является равнобедренный прямоугольный треугольник 
с прямым углом 
, катеты которого равны 6. Боковые рёбра призмы равны 6. На рёбрах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
, 
.
а) Докажите, что плоскость 
разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
|
|
|
б) Найдите объём тетраэдра 
.
Решение.
|
а) Площадь основания призмы равна 18, а объём призмы равен 108.
В четырёхугольной пирамиде 
высота совпадает с высотой основания призмы 
, опущенной на сторону 
, и равна 
.
Основание 
пирамиды является трапецией, площадь которой равна 
. Значит, объём пирамиды равен 54, то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников и 
равны.
б) В четырёхугольной пирамиде 
высота совпадает с высотой основания призмы , опущенной на сторону 
, и равна . Основание пирамиды 
является трапецией, площадь которой
равна 
. Объём пирамиды равен 18.
Многогранник состоит из двух частей: и . Значит, объём тетраэдра равен 36.
Ответ: б) 36.
| 24 |
Дана правильная треугольная призма 
, все рёбра которой равны 4. Точка 
— середина ребра 
.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью 
является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостями и 
.
Решение.
|
а) Найдём стороны треугольника 
:
,
,
.
Заметим, что
.
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным.
б) Так как прямая 
перпендикулярна прямым 
и 
, угол 
искомый:
|
|
|
Ответ: б) 
.
| 25 |
Ребро куба 
равно 6. Точки 
, 
и 
— центры
граней 
, 
и 
соответственно.
а) Докажите, что 
— правильная пирамида.
б) Найдите объём пирамиды .
Решение.
|
а) Рассмотрим правильный тетраэдр 
. В нём 
, 
и 
— медианы боковых граней. Значит, 
.
Основание 
пирамиды 
является правильным треугольником, поскольку 
, 
и 
— средние линии в правильном треугольнике 
.
Таким образом, — правильная пирамида.
б) Объём пирамиды равен четверти объёма пирамиды , поскольку площади треугольников и относятся как 
,
а высота, проведённая из вершины 
, — общая для этих пирамид.
С другой стороны, куб составлен из пирамид , 
, 
, 
и 
. Пусть объём куба равен 
. Тогда объём каждой из пирамид , , 
и равен 
. Значит, объём пирамиды равен 
, а объём
пирамиды равен 
.
Ответ: б) 18.
| 26 |
В основании правильной треугольной призмы 
лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота призмы равна 3. Точка 
— середина ребра 
, точка 
— середина ребра 
. Через точки 
и 
проведена плоскость 
, параллельная ребру .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — прямоугольник.
|
|
|
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Решение.
|
а) Обозначим точки пересечения плоскости
с ребрами 
и 
буквами 
и (см. рис.). Плоскость пересекает грани 
и 
по прямым 
и 
соответственно, параллельным ребру . Отрезки и параллельны и равны друг другу. Значит, четырёхугольник 
— параллелограмм. Прямая перпендикулярна плоскости 
, поэтому прямая перпендикулярна прямой 
.
Следовательно, у параллелограмма прямые углы, а значит, четырёхугольник 
— прямоугольник.
б) Точка — середина ребра , а точка — середина ребра 
. Значит, отрезок 
— средняя линия треугольника , поэтому 
. Поскольку 
, площадь сечения равна 
.
Ответ: б) 3.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 147; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!