Основные правила интегрирования.

Существование первообразной

Для непрерывной функции.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы о существовании первообразной для непрерывной функции, введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть функция интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале , и пусть с - некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда, каково бы ни было число х из интервала , функция интегрируема на сегменте . Поэтому на интервале определена функция

которую называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция

где с - любая фиксированная точка интервала .

Доказательство. Достаточно доказать, что для любого фиксированного х из интервала существует предельное значение , причем это предельное значение равно . Имеем, в силу свойства 6 определенных интегралов

По формуле среднего значения находим

где x - число, заключенное между числами x и . Поскольку функция непрерывна в точке х, то при . Поэтому из последней формулы находим

Замечание 1. Аналогично доказывается теорема о существовании первообразной у непрерывной на сегменте функции. Отметим, что в этом случае в качестве нижнего предела интегрирования с можно взять а.

Замечание 2. При доказательстве теоремы мы установили существование производной от интеграла с переменным верхним пределом и доказали, что эта производная равна подынтегральной функции.

(1)

2. Основная формула интегрального исчисления.

Любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную. Поэтому, согласно теореме 1 и замечанию 1 к этой теореме, можно утверждать, что любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид

где С — некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала , а затем и используя свойство определенных интегралов, найдем

Из этих равенств вытекает соотношение

(2)

называемое основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона - Лейбница.

Итак, для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Отметим, что основная формула интегрального исчисления открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче разыскания первообразной функции.

Формулу (2) иногда записывают в иной форме. Именно разность обозначают символом Тогда