Основные свойства определенного интеграла

Лекция 4. Определённый интеграл.

Определённый интеграл.

Интегральные суммы. Интегрируемость.

Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом Т разбиение сегмента при помощи некоторых, не совпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , [x₀, x₁], . . ., . Точки будем называть точками разбиения T. Пусть - произвольная точка частичного сегмента , - значение функции в ней. Обозначим через - разность ,которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .

Определение 1. Число , где

называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению Т сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .

В дальнейшем через D мы будем обозначать длину максимального частичного сегмента разбиенияТ, то есть .

Выясним геометрический смысл интегральной суммы. Для этого рассмотрим криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функции (для простоты будем считать эту функцию непрерывной), двумя ординатами, проведенными в точках а и b оси абсцисс, и осью абсцисс (рис. 1). Очевидно, интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, заштрихованной на рис. 1.

Рис. 1

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного числа e можно указать такое положительное число d, что при независимо от выбора точек на сегментах выполняется неравенство

Для предела I интегральных сумм употребляется обозначение

Определение 3. Функция называется интегриру емой на сегменте , если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при . Указанный предел I называется определенным интегралом от функции по сегменту и обозначается следующим образом:

Наглядные геометрические представления показывают, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, определяемой графиком функции на сегменте .

Выясним вопрос об интегрируемости неограниченных на сегменте [а, b] функций.

Докажем следующее утверждение: неограниченная на сегменте функция не интегрируема на этом сегменте.

Доказательство. Пусть функция не ограничена на сегменте . Тогда она не ограничена на некотором частичном сегменте любого данного разбиения Т сегмента . Поэтому слагаемое интегральной суммы , отвечающей этому разбиению Т, может быть сделано как угодно большим по абсолютной величине за счет выбора точки . Отсюда вытекает, что интегральные суммы , отвечающие любому разбиению T, не ограничены и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм.

Сообразуясь с доказанным утверждением, будем рассматривать лишь ограниченные на сегменте функции. Возникает вопрос: всякая ли ограниченная на сегменте функция является интегрируемой на этом сегменте? Следующий пример показывает, что это, вообще говоря, не так. Убедимся, что заведомо ограниченная на сегменте функция Дирихле, значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных - нулю, не интегрируема на сегменте . Действительно, если для любого разбиения Т со сколь угодно малым D выбрать точки рациональными, то, очевидно, , если же для того же разбиения Т точки выбрать иррациональными, то . Поэтому для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, т. е. эта функция не интегрируема.

Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок - областью интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема 1 (Коши). Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Основные свойства определенного интеграла

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

Эго следует из того, что интегральная сумма, а, следовательно, и ее предел не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

Докажем справедливость следующих свойств определенного интеграла:

1°. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

. (1)

Отметим, что формула (1) должна рассматриваться как соглашение. Её нужно рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на сегмент нулевой длины.

2°. Мы будем считать, что при a < b

. (2)

Эта формула также должна рассматриваться как соглашение. Она представляет собой естественное обобщение понятия интеграла на случай, когда сегмент при пробегается в направлении от b к а (в этом случае в интегральной сумме все разности имеют отрицательный знак).

3°. Пусть функции и интегрируемы на сегменте . Тогда функции , , также интегрируемы на этом сегменте, причем

. (3)

Докажем сначала интегрируемость функции и справедливость формулы (3). При любом разбиении сегмента и любом выборе точек для интегральных сумм справедливо соотношение

а поэтому из существования предела правой части следует существование предела левой части. Следовательно, функция интегрируема и имеет место формула (3).

4°. Если функция интегрируема на сегменте , то функция интегрируема на этом сегменте, причем

. (4)

Действительно, интегральные суммы функций и отличаются постоянным множителем с. Поэтому функция интегрируема и справедлива формула (4).

5°. Пусть функция интегрируема на сегменте . Тогда эта функция интегрируема на любом сегменте , содержащемся в сегменте .

6°. Пусть функция интегрируема на сегментах и . Тогда эта функция интегрируема на сегменте , причем

(5)

То есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определённого интеграла.

Если точка с лежит вне сегмента , то сегмент есть часть сегмента (или ) и поэтому, в силу свойства 5°, функция f(x) интегрируема на . Рассмотрим случай a < b < c. Тогда

7°. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что .

Данное свойство при имеет простой геометрический смысл: значение определённого интеграла равно, при некотором площади прямоугольника с высотой и основанием . Число - называется средним значением функции на отрезке .

9°. Если функция сохраняет знак на отрезке , где , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке , то .

9°. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке , можно интегрировать. Так, если при , то .

10°. Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезка , ( ), то

Если , то свойство 9° иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть , а высоты равны m и M (рис. 2).

11°. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: .

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 175; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!