ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Пример 1.1

Груз массы , подвешенный на нити длины , другой конец которой закреплен в точке , представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости (Рис.1.1). Нить образует с вертикалью угол . Определить скорость груза и силу натяжения нити .

Рис.1.1

Рассмотрим движение груза , который по условию задачи можно считать материальной точкой. Поскольку траектория точки известна, используем уравнения движения в проекциях на оси естественного трёхгранника. В рассматриваемом случае эти уравнения имеют вид:

Последнее уравнение позволяет определить силу : Из первого уравнения можно сделать вывод, что в процессе движения скорость точки не изменяет свою величину; определить эту величину можно из второго уравнения:

Заметим, что в решении фигурирует сила реакции нити, но искомая сила натяжения нити равна ей по модулю.

Пример 1.2

Автомобиль массы движется по выпуклому мосту равномерно со скоростью (Рис.1.2). Радиус кривизны в середине моста . Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста.

Рис.1.2

Рассмотрим автомобиль в верней точке моста. Силы, действующие в направлении касательной к траектории – сила трения, сила сопротивления воздуха неизвестны. В направлении главной нормали к траектории действуют известная сила тяжести и нормальная реакция опоры, которую и требуется определить. Поэтому запишем уравнение движения в проекциях на главную нормаль к траектории. В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид:

отсюда:

По третьему закону Ньютона сила давления автомобиля на мост по модулю равна нормальной реакции.

Пример 1.3

Решето рудообогатительного грохота движется поступательно по вертикали по закону . Найти наименьшую частоту колебаний решета, при которой куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбрасываться вверх.

Рис.1.3.

Направим ось вертикально вверх (Рис.1.3). Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

Отсюда:

Минимальное значение нормальная реакция принимает в верхней точке, где :

Если кусок руды отделяется от решета, то отсюда

Пример 1.4

Материальная точка массы совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону , где и — постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость . Найти уравнение движения точки.

Направим ось вдоль прямой, по которой движется точка, совместив начало отсчета с начальным положением точки. На основании второго закона Ньютона в проекции на ось получаем:

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение движения точки

определяем зависимость ее скорости от времени:

Поскольку , полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение относительно функции :

интегрируя которое, определяем закон движения точки:

Пример 1.5

На какую высоту и за какое время поднимется тело весом , брошенное вертикально вверх со скоростью , если сопротивление воздуха может быть выражено формулой , где — скорость тела?

Направим ось вертикально вверх, полагая на поверхности Земли (Рис.1.4). Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

или, учитывая что , вид:

Рис.1.4

Уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Чтобы получить зависимость скорости от времени, выполняем интегрирование с переменным верхним пределом. Учитывая начальные условия, получаем:

отсюда:

Теперь мы имеем возможность определить время подъема тела на максимальную высоту. Подставляя в уравнение (с) условия

при получаем

Остается определить максимальную высоту подъема . Уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно функции , поскольку , но интегрирование уравнения

представляется неудобным.

Помимо зависимости , для определения нас вполне устраивает зависимость , поскольку скорость в верхней точке известна: . Перейдем в уравнении от производной по к производной по , полагая