Влияние постоянной силы на свободные незатухающие колебания
Пусть кроме восстанавливающей силы (2.1) на точку действует постоянная по модулю и направлению сила, например, сила тяжести. Для наглядности рассмотрим колебания груза, прикрепленного к концу пружины (Рис.2.3). На груз действуют две силы: сила тяжести и реакция пружины, величина которой пропорциональна удлинению пружины: .
Рис. 2.3 |
Выберем начало отсчета в положении статического равновесия ; ось направим вертикально вниз. Тогда . Дифференциальное уравнение движения точки принимает вид:
(2.16)
Учитывая условие статического равновесия: приводим уравнение (2.16) к виду:
(2.18)
Таким образом, наличие постоянной силы не изменяет характера движения – оно остается простым гармоническим колебанием. Действие постоянной силы приводит только к тому, что центр колебаний смещается в сторону действия постоянной силы.
Движение точки при наличии сопротивления
Пусть кроме восстанавливающей силы на точку действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости. Дифференциальное уравнение движения
Рис. 2.4 |
принимает вид:
(2.19)
Рассмотрим возможные случаи.
|
|
Случай малого сопротивления . Решение уравнения (2.19)представляется в виде:
(2.20)
где
или в виде:
(2.21)
где и или и — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Как видно из решения (2.21), рассматриваемое движение будет затухающим колебанием, поскольку благодаря наличию множителя размахи колебаний будут со временем убывать, стремясь к нулю (Рис.2.4).
Случай большого сопротивления . Обозначая , получаем общее
Рис. 2.5 |
решение уравнения (2.19) в виде:
Как видно, колебаний в рассматриваемом случае не будет. Поскольку , с течением времени убывает, стремясь к нулю, т.е. точка со временем асимптотически приближается к положению равновесия. Примерный характер движения показан на Рис.2.5.
Граничный случай . Общее решение уравнения (2.19) имеет вид:
(2.23)
Картина движения в этом случае будет качественно такой же, как в случае большого сопротивления (Рис.2.5).
|
|
Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления
Пусть на точку с массой кроме восстанавливающей силы действует возмущающая сила вида (2.4). Влияние силы сопротивления мы рассмотрим в следующем параграфе. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:
или (2.24)
где
Общее решение неоднородного уравнения (2.24), как известно, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (2.8) и любого частного решения уравнения (2.24). Частное решение будем искать в виде:
(2.25)
где – любое число.
Подставляя предполагаемый вид решения (2.25) в уравнение (2.24), получаем:
Как видно, функция (2.25) действительно будет решением уравнения (2.24), если
что возможно только при .
Таким образом, если , общее решение уравнения (2.24) имеет вид:
Рис. 2.6 |
(2.26)
|
|
Как следует из полученного решения, движение точки в рассматриваемом случае представляет собой результат наложения двух колебаний: собственных с частотой , амплитуда и начальная фаза которых определяются начальными условиями, и вынужденных с частотой , равной частоте возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зависит.
Если частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, т.е., если , то рассмотренное частное решение не имеет смысла. Рассмотрим другое частное решение, которое получается из общего решения (2.26) при конкретных значениях произвольных постоянных.
(2.27)
При это частное решение имеет неопределенность вида , раскрывая которую (по правилу Лопиталя), находим:
результате получаем:
(2.28)
Как видно, в том случае, когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой, амплитуда вынужденных колебаний с течением времени неограниченно возрастает (Рис.10.6). Такое явление называется резонансом. Резонанс играет важнейшую роль в акустике, радиотехнике, динамическом расчете сооружений и т.д.
|
|
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
- Что называется восстанавливающей силой?
- Что называется амплитудой, частотой и периодом свободных незатухающих колебаний?
- При каких условиях возникают свободные затухающие колебания?
- При каких условиях возникает апериодическое движение?
- Что называется резонансом и когда он возникает?
ЛЕКЦИЯ 3 (11)
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 221; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!