ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Постановка задачи
Пусть материальная точка 
с массой 
, в силу наложенных на нее связей, движется по известной траектории, на которой установлена криволинейная система отсчета (Рис.2.1). Начало отсчета дуговой координаты 
совместим с положением равновесия точки 
. Пусть среди сил, действующих на точку, есть восстанавливающая сила. Восстанавливающей называется сила, возникающая при смещении точки из положения равновесия и стремящаяся вернуть точку в равновесное положение. Такая сила всегда направлена в сторону положения равновесия, а её модуль пропорционален величине смещения точки из положения равновесия. Проекцию восстанавливающей силы на направление касательной к траектории можно записать в виде 
где 
– коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом жесткости.
|
| Рис. 2.1 |
Природа таких сил весьма разнообразна (упругие, архимедовы, гравитационные силы и т.п.). В практическом отношении интересны задачи, в которых кроме восстанавливающей силы на точку действует сила сопротивления 
и некоторая сила 
, которую называют возмущающей силой.
Поскольку траектория точки считается известной, для определения закона движения используем уравнение:
(2.2)
Ограничиваясь случаем пропорциональности силы сопротивления первой степени скорости (вязкое трение при малых скоростях), получаем: 
где 
– коэффициент пропорциональности.
|
|
|
Рассмотрим случай периодической возмущающей силы:
(2.4)
Таким образом, дифференциальное уравнение движения (2.2) принимает вид:
или 
(2.5)
где обозначено:
(2.6)
Задача состоит в определении решения уравнения (2.5) при заданных начальных условиях:
при 
(2.7)
Следует отметить, что многие функции 
при определенных условиях могут быть представлены на интервале движения разложением в ряд Фурье, т.е. в виде суммы (вообще говоря, бесконечной), каждый член которой имеет вид (2.4). Тогда решение уравнения движения, в силу его линейности, может быть представлено соответствующей суммой решений уравнений вида (2.5). Таким образом, рассматриваемый случай возмущающей силы является довольно общим.
|
|
|
Движение точки под действием восстанавливающей силы
Пусть на точку действует только восстанавливающая сила. Полагая в уравнении (2.5) 
и 
, получаем:
(2.8)
Здесь и в дальнейшем полагаем 
, имея ввиду, что в учебной литературе обычно рассматривается случай прямолинейного движения, хотя все полученные результаты справедливы для движения точки по любой криволинейной траектории.
Уравнение (2.8) представляет собой обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (2.8) имеет вид:
(2.9)
где 
и 
— постоянные интегрирования.
Дифференцируя решение (2.9) по времени, получаем закон изменения скорости точки:
(2.10)
Для определения постоянных интегрирования и подставляем начальные условия, которые в принятых нами обозначениях имеют вид
|
|
|
при 
(2.11)
в уравнения (10.9) и (10.10). Получаем: 
так что общее решение уравнения (10.8) принимает вид:
(2.12)
или
(2.13)
|
| Рис. 2.2 |
Скорость точки при этом вычисляется по формуле:
(2.14)
Движение, совершаемое точкой под действием восстанавливающей силы, называется простым гармоническим или свободным незатухающим колебанием (Рис.2.2).
Постоянная 
определяет наибольшее отклонение точки от положения равновесия; ее называют амплитудой колебаний. Величина 
, определяющая положение и скорость точки в данный момент времени, называется фазой колебаний; 
– начальная фаза.
Как видно, движение будет периодическим. Периодом колебаний называется промежуток времени 
, в течение которого точка совершает одно полное колебание
(2.15)
|
|
|
Величина 
, пропорциональная 
, называется круговой или циклической частотой колебаний.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 251; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!