Численные значения параметров цепи
| Первая цифра варианта |  ,
В
|  ,
Ом
|  ,
Ом
| Вторая цифра варианта |  ,
В
|  ,
Ом
|  ,
Ом
| Третья цифра варианта |  ,
В
|  ,
Ом
|  ,
Ом
|
| 1 | 50 | 10 | 5 | 1 | 80 | 40 | 25 | 1 | 120 | 40 | 100 |
| 2 | 75 | 25 | 10 | 2 | 120 | 20 | 10 | 2 | 80 | 10 | 20 |
| 3 | 100 | 50 | 50 | 3 | 30 | 5 | 40 | 3 | 30 | 5 | 50 |
| 4 | 25 | 25 | 40 | 4 | 40 | 10 | 50 | 4 | 75 | 25 | 10 |
| 5 | 80 | 20 | 25 | 5 | 50 | 25 | 40 | 5 | 90 | 10 | 50 |
| 6 | 120 | 40 | 20 | 6 | 75 | 25 | 100 | 6 | 110 | 10 | 25 |
| 7 | 30 | 10 | 50 | 7 | 80 | 10 | 20 | 7 | 45 | 5 | 25 |
| 8 | 100 | 5 | 40 | 8 | 90 | 5 | 25 | 8 | 70 | 10 | 40 |
| 9 | 150 | 50 | 5 | 9 | 60 | 20 | 50 | 9 | 125 | 25 | 40 |
| 0 | 40 | 20 | 20 | 0 | 25 | 5 | 50 | 0 | 50 | 50 | 20 |
МЕТОД УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА
Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов. В рассматриваемой схеме (рис. 2.1) оно равно шести. По первому закону Кирхгофа имеем три уравнения – на единицу меньше числа узлов. Принимая токи, подтекающие к узлу, положительными, а оттекающие от узла – отрицательными, записываем:
узел 1: 
;
узел 2: 
;
узел 3: 
.
Рис. 2.1. Схема цепи
Оставшиеся три уравнения составляем по второму закону Кирхгофа. Напоминаем правило знаков: если направления ЭДС и токов совпадают с направлением обхода контура, то они записываются с плюсом, если не совпадают – с минусом. Для контуров, отмеченных на схеме дугообразными стрелками, показывающими направления обхода, получаем:
;
;
.
МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Уравнения, составляемые по этому методу и называемые узловыми уравнениями, в качестве неизвестных содержат потенциалы узлов, причем один из них задается заранее, обычно принимается равным нулю. Пусть таким узлом в схеме (рис. 2.1) будет четвертый: φ4 = 0.
|
|
|
Структуру уравнений, записываемых для каждого из остальных узлов, рассмотрим на примере уравнения для узла 2. При написании уравнений руководствуемся следующими правилами.
Потенциал узла, для которого составляется уравнение, умножается на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к этому узлу: φ2 (G2+G4+G3). Это произведение записывается в левой части уравнения со знаком плюс.
Потенциал каждого соседнего узла (в данном случае первого и третьего) умножается на проводимость ветви, лежащей между этим (соседним) узлом и узлом, для которого составляется уравнение. Эти произведения (j1G2 и j3G4) записываются со знаком минус.
В правой части уравнения стоит алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу (E2G2 и E4G4). Эти произведения берутся с плюсом, если ЭДС направлена к узлу, и с минусом, если от узла.
Итак, для узла 2 имеем:
j2(G2+G4+G3) – j1G2 – j3G4 = E2G2 – E4G4.
Аналогично выглядят уравнения для узлов 1 и 3:
|
|
|
j1(G2+G6+G5) – j2G2 – j3G6 = –E2G2;
j3(G6+G4+G1) – j1G6 – j2G4 = E1G1+E4G4.
Потенциал четвертого узла в уравнения не входит, так как мы приняли его равным нулю.
Следует заметить, что вид этих уравнений не зависит от направлений токов в ветвях и для их написания не требуется указания токов на схеме.
Общее число уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, на единицу меньше числа узлов. В рассматриваемом случае – 3.
Окончательно система узловых уравнений для данной схемы после приведения подобных членов принимает вид:
G11j1 + G12j2 + G13j3 = J1;
G21j1 + G22j2 + G23j3 = J2; (3.1)
G31j1 + G32j2 + G33j3 = J3.
В этих уравнениях проводимость Gii (с двумя одинаковыми индексами) называется собственной проводимостью i-го узла и равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле. Например, собственная проводимость третьего узла
G33 = G6 + G4 + G1.
Проводимость с двумя различными индексами Gij называется общей или взаимной проводимостью i-го и j-го узлов. Она равна взятой со знаком минус проводимости ветви, соединяющей эти узлы.
Так, взаимная проводимость первого и третьего узлов
.
Стоящий в правой части уравнения ток Ji, называемый узловым током, равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые присоединены к i-му узлу:
|
|
|
; 
; 
.
Данные для решения системы уравнений (3.1) удобно записывать в матричной форме:
Это целесообразно делать особенно тогда, когда для решения системы уравнений применяется ЭВМ, так как программы составляются обычно так, что ЭВМ запрашивает данные для расчета в виде матриц – матрицы коэффициентов и матрицы свободных членов.
Решив систему (3.1) и найдя потенциалы узлов, мы с помощью закона Ома можем найти токи. Здесь для написания нужных формул уже необходимо указать направления токов в ветвях. Эти направления выбираются совершенно произвольно.
Для схемы рис. 2.1 имеем:
; 
; 
;
; 
; 
.
Некоторые из токов по результатам расчета могут оказаться отрицательными. Менять в этом случае в схеме и в расчетах ничего не следует. Знак минус в ответе будет указывать на то, что действительное направление тока противоположно показанному на схеме.
4. ПРОВЕРКА РАСЧЕТА ТОКОВ
Найденные методом узловых потенциалов токи рекомендуется сразу же проверить по первому закону Кирхгофа.
Пусть, например, для токов, сходящихся в узле 1, получены следующие значения:
= 0,844 A; 
= 2,124 A; 
= –1,282 A.
В соответствии с первым законом Кирхгофа 
.
Сравниваем:
= 2,124 – 1,282 = 0,842 A;
|
|
|
= 0,844 A.
Расхождение в значениях токов (абсолютная погрешность) составляет
DI = 0,844 – 0,842 = 0,002 А.
Относительная погрешность вычисления токов равна
%.
Аналогично делается проверка и для остальных узлов.
Вторая проверка заключается в составлении уравнения баланса мощностей, выражающего закон сохранения энергии в электрической цепи и устанавливающего равенство мощностей источников и приемников электрической энергии:
, (4.1)
где 
– мощность источника k-ой ветви; 
– мощность, потребляемая сопротивлением k-ой ветви; m – число ветвей в цепи.
В левой части уравнения (4.1) берется алгебраическая сумма мощностей: если направление тока не совпадает с направлением ЭДС, то данный источник работает в режиме потребителя энергии, и произведение 
пишется со знаком минус (его можно записать с плюсом в правой части уравнения). Так, в схеме на рис. 2.1
.
МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Число уравнений, составляемых по этому методу, равно числу взаимно независимых контуров. При рассмотрении схемы каждый последующий контур является независимым относительно предыдущих, если он отличается от них хотя бы одной новой ветвью. Рассматриваемая цепь имеет три независимых контура.
Для каждого из этих контуров назначается так называемый контурный ток, замыкающийся по всем сопротивлениям своего контура. Направления этих токов произвольны.
Для выбранных контурных токов ( 
и 
на рис. 2.1) записываются уравнения по второму закону Кирхгофа. Контур при этом обходится по направлению контурного тока.
Рассмотрим подробно составление уравнения для первого контура.
Контурный ток 
, протекая по сопротивлениям своего контура, создает на них падение напряжения, равное
.
По сопротивлению , являющемуся элементом первого контура, протекает контурный ток второго контура . Создаваемое им падение напряжения 
складывается с предыдущим, так как направления токов и в сопротивлении одинаковы.
Падение напряжения, создаваемое контурным током на сопротивлении , должно вычитаться из этой суммы, так как направления токов и в четвертой ветви противоположны друг другу.
В правой части уравнения, согласно второму закону Кирхгофа, записывается алгебраическая сумма всех ЭДС контура: 
.
Итак, для первого контура имеем:
.
Аналогично составляются уравнения для второго и третьего контуров:
;
.
После ряда преобразований уравнения контурных токов можно представить в следующем виде:
;
; (5.1)
.
Матрица коэффициентов при неизвестных токах
может быть составлена сразу, без записи уравнений, на основании анализа схемы. Ее порядок (число столбцов, равное числу строк) равен числу контурных токов.
Элементы, стоящие на главной диагонали (сопротивления с одинаковыми индексами), – это так называемые собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений каждого контура:
; 
; 
.
Сопротивление с разными индексами, называемое общим или взаимным сопротивлением двух смежных контуров, – это сопротивление ветви, принадлежащей одновременно двум соседним контурам; оно положительно, если направления контурных токов в нем совпадают, и отрицательно в противном случае:
; 
; 
.
Первый индекс у каждого сопротивления совпадает с номером рассматриваемого контура и одновременно указывает на номер строки матрицы. Второй индекс указывает на номер контура, смежного с рассматриваемым, и определяет номер столбца.
Каждый из элементов матрицы свободных членов
представляет собой алгебраическую сумму всех ЭДС контура. ЭДС входит в эту сумму с плюсом, если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и с минусом в противном случае:
; 
; 
.
После решения системы уравнений (5.1) действительные токи ветвей определяются по найденным контурным:
; 
; 
;
; 
; 
.
Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 510; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!