Лекция 18. Экстремум функции двух переменных.

Основные вопросы:

1. Основные понятия.

2. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Обзор лекции:

В данной лекции рассматриваются понятие экстремума функции двух переменных; необходимое и достаточное условия существования экстремума, алгоритмом нахождения экстремума функции двух переменных, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Основные понятия.

Пусть функция z=f(x;у) определена на множестве D и точка М (х ;у ) D. Если существует окрестность точки М , которая принадлежит множеству D, и для всех отличных от М точек М выполняется неравенство

f(М)< f(М₀) (f(М)> f(М₀)),

то точку М называют точкой локального максимума (минимума) функции z=f(x;у), а число f(М₀) - локальным максимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функции называют её точками экстремума.

2. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.

Теорема 1(необходимые условия экстремума). Если функция z=f(x;у) в точке

М ( х ;у ) имеет локальный экстремум, то в этой точке частные производные равны нулю или не существуют.

Точки, в которых = = 0, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют, называются критическими.

Пусть в стационарной точке М ( х ;у ) и некоторой её окрестности функция z=f(x;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Введём обозначения:

А= ( х ;у ), В= ( х ;у ), С= ( х ;у ), =АС-В².

Теорема 2 (достаточные условия экстремума).

1. Если >0, то функция z=f(x;у) в точке М имеет экстремум, причём максимум при А<0 и минимум при А>0.

2. Если <0, то в точке М нет экстремума.

3. Если =0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1°. Найти частные производные функции и

2°. Решить систему уравнений =0, =0 и найти критические точки функции.

3°. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4°. Найти экстремумы(экстремальные значения) функции.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Пусть в замкнутой и ограниченной области D задана непрерывная функция z=f(x;у). По теореме Вейершрасса функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения.

Теорема (свойство непрерывных функций в замкнутой и ограниченной области). Если функция z=f(x;у) непрерывна в замкнутой и ограниченной области, то в этой области существуют такие точки, в которых функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения.

Пусть функция u = f ( x₁ , x₂ ,…, x_n) определена и непрерывна в некотором ограниченном и замкнутом множестве D и имеет на этом множестве конечные частные производные (за исключением, быть может, отдельных точек). Тогда эта функция достигает на D своего наибольшего и наименьшего значения. Если это значение достигается во внутренней точке множества, то, очевидно, эта точка должна быть стационарной; кроме того, наибольшее и наименьшее значение может достигаться на границе множества D. Поэтому для определения наибольшего и наименьшего значений функции на множестве D требуется:

1) найти стационарные точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией на границе множества D;

3) выбрать наименьшее и наибольшее из полученных чисел, которые и будут являться наименьшим и наибольшим значениями функции на всем множестве D.

Контрольные вопросы:

Сформулируйте определение локального экстремума функции двух переменных
Сформулируйте необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.
Алгоритм исследования функции двух переменных на наличие экстремума
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области

Тесты

Числовые последовательности. Предел последовательности

1. Последовательность , заданная формулой го члена является:

а) возрастающей; б) убывающей; в) неограниченной; г) невозрастающей.

2. Последовательность , заданная формулой го члена является:

а) возрастающей; б) неубывающей; в) неограниченной; г) ограниченной.

3. Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) -2.

4. Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) -2.

5. Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) 2.

6. Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) 2.

7. Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) 2.

8. Среди перечисленных вариантов ответов выбрать значение предела :

а) ; б) 2; в) 3; г) 0.

9. Среди перечисленных вариантов ответов выбрать значение предела :

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Среди перечисленных вариантов ответов выбрать значение предела :

а) 1; б) 0; в) ; г) .

Функция одной переменной

11. Указать числовой промежуток, на котором определена функция :

а) ; б) ; в) ; г) .

12. Указать числовой промежуток, на котором определена функция :

а) ; б) ; в) ; г) .

13. Указать числовой промежуток, на котором определена функция :

а) ; б) ; в) .

14. Какова область значений функции :

а) ; б) ; в) ; г) .

15. Какова область значений функции :

а) ; б) ; в) ; г) .

16. Какова область значений функции :

а) ; б) ; в) ; г) .

17. Какое из перечисленных свойств относится к функции :

а) функция является чётной; б) функция является нечётной; в) функция является функцией общего вида; г) функция является периодической.

18. Какое из перечисленных свойств относится к функции :

19. Какая из перечисленных функций является обратной для функции на промежутке :

а) ; б) ; в) ; г) .

20. Какая из перечисленных линий является графиком функции :

а) кубическая парабола; б) квадратичная парабола; в) гипербола; г) экспонента.

21. Какая из перечисленных линий является графиком функции :

а) кубическая парабола; б) квадратичная парабола; в) гипербола; г) экспонента.

22. Какое из перечисленных утверждений истинно? Функция на всей области определения является:

а) неубывающей; б) невозрастающей; в) неотрицательной; г) неположительной.

Пределы функций

23. Указать ВСЕ утверждения, справедливые для графика функции, изображенного на рис.:

а)		б)		в)
г)		д)		е)

24. Значение предела равно:

А) 1 Б) е⁸ В) Г) е⁴

25. Вычислить предел

А) ∞ Б) 2 В) - ∞ Г) 1

26. Вычислить

А) 35 Б) 12 В) ∞ Г) 1

27. Вычислить

А) 2 Б) 0 В) ∞ Г) 5

Непрерывность функции. Производная функции

28. Для функции точка является:

а) точкой непрерывности; б) точкой устранимого разрыва; в) точкой разрыва первого рода (скачка); г) точкой разрыва второго рода (бесконечного).

29. Для функции точка является:

30. Если функция дифференцируема в точке x ₀, то в этой точке функция будет

А) иметь экстремум; Б) иметь производную; В) непрерывна; Г) Другой ответ.

31. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции (когда приращение аргумента стремится к нулю)?

а) Отношение приращения функции к приращению аргумента; б) Предел отношения функции к приращению аргумента; в) Отношение функции к пределу аргумента; г) Отношение предела функции к аргументу; д) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

32. Первая производная функции показывает

а) скорость изменения функции; б) направление функции; в) приращение функции;

г) приращение аргумента функции.

33. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке, равен

а) отношению значения функции к значению аргумента в этой точке; б) значению производной функции в этой точке; в) значению дифференциала функции в этой точке; г) значению функции в этой точке; д) значению тангенса производной функции в этой точке.

34. На рисунке изображен график функции . Тогда производная это ...

а) TK/МК;

б) NK/МК;

в) NК;

г) MK/ТК;

д) MN/МК;

е) MN.

35. Дифференциал функции равен

а) отношению приращения функции к приращению аргумента; б) произведению приращения функции на приращение аргумента; в) произведению производной на приращение аргумента;

г) приращению функции; д) приращению аргумента.

36. Дифференциал постоянной равен…

а) этой постоянной; б) произведению данной постоянной на величину Dx;

в) бесконечно большой величине; г) нулю; д) невозможно определить.

37. На рисунке изображен график функции y=f(x) . Какой отрезок на этом рисунке соответствует дифференциалу dy?

а) TK;

б) NK;

в) NT;

г) MK;

д) MN;

е) другой ответ.

38. Если функция у(х) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b) и y(a) = y(b), то на (a ; b) можно найти хотя бы одну точку, в которой

а) функция не определена; б) производная функции не существует; в) нельзя провести касательную к графику функции; г) производная функции обращается в ноль.

39. Дифференциал функции равен

А) d ; Б) d ; В) d ; Г) Другой ответ.

40. Приближённое значение функции , вычисленное с помощью дифференциала в точке x₀=3 равно:

А) 1,9; Б) 1,75; В) 2; Г) Другой ответ.

41. Производная функции равна

А) ; Б) ; В) ; Г) Другой ответ.

42. Пусть функция имеет в точке конечную производную. Тогда уравнение касательной к функции в этой точке имеет вид:

А) ; Б) ; В) ;

Г) .

43. Производная функции равна:

А) ; Б) ; В) ; Г) .

44. Производная функции равна

А) ; Б) ; В) ;

45. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 8

46. Найти производную функции ..

А) ; Б) ; В) ; Г) .

47. Найти вторую производную функции в точке

А) 16 Б) 17 В) 18 Г) 19

48. Функция у = х³+х …

а) возрастает на ( – ∞; 0), убывает на (0; +∞); б) убывает на ( – ∞; 0), возрастает на (0; +∞);

в) всюду убывает; г) всюду возрастает; д) другой ответ.

49. Сколько точек перегиба имеет функция у = х⁴ + 4х?

а) ни одной; б) одну; в) две; г) три; д) больше трех.

50. Укажите точки экстремума непрерывной на всей числовой прямой функции у( х), если :

а) х = 2 – точка max; б) х = 2 – точка min; в) х = –1 – точка max; г) х = –1 – точка min; д) точек экстремума нет.

51. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие убывания:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

52. Какой из графиков на рисунке соответствует функции y = f(x), удовлетворяющей условиям f '( x ) < 0; f ''( x ) > 0?

53. Для функции, изображенной на рисунке, укажите:

А) точки на (a; b), в которых функция не дифференцируема.

Б) точки, в которых функция имеет максимум.

В) точки на [a; b], в которых функция принимает наименьшее значение.

Г) точки на (a; b) в которых производная функции обращается в ноль.

Заключение

Математический анализ является одной из наиболее значительных частей математики. Характерной чертой этого раздела можно назвать его тесную связь с практикой.

Как и любая математическая дисциплина, математический анализ имеет свой объект исследования и свой метод исследования, опирающийся на первоначальные понятия множества и функции. Объектом исследования в математическом анализе являются функции, их свойства и операции над ними (дифференцирование, интегрирование и другие). Метод исследования — предельный переход.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 282; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

Мы поможем в написании ваших работ!