Тема 5. Функции нескольких переменных

Лекция 17. Функции нескольких переменных.

Основные вопросы:

Основные понятия.
Предел и непрерывность функций двух переменных.

3. Частные производные и полный дифференциал функций двух переменных

Обзор лекции:

В данной лекции рассматриваются понятие функции нескольких переменных; предел и непрерывность функций двух переменных, частные производные и полный дифференциал функций двух переменных.

1. Основные понятия.

Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.

Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х ;...;х ) D ставится в соответствие число z, то говорят, что на множестве D определена функция z= f(х ;...;х ).

Множество точек М(х ;...;х ), для которых функция z= f(х ;...;х ) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).

Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

Предел и непрерывность функций двух переменных.

Большая часть понятий анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.

или | f(M) – A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М₀ (δ-окрестности М₀ – это круг с радиусом δ и центром в М₀).

Где ρ – расстояние между двумя точками. .

Обозначения: .

Функция f(x,y) называется непрерывной в точке (x₀,y₀), если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или

3. Частные производные и полный дифференциал функций двух переменных

Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М(x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+ ;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину

которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.

Аналогично величину называют частичным приращением функции по переменной у.

Если существует предел , то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М(x;у) по переменной х и обозначают такими символами: , , , .

Аналогично = .

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных , функции z=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

, ,

, .

Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.

Полный дифференциал функции.

Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

Определение. Выражение

называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Контрольные вопросы:

Сформулируйте определение функции нескольких переменных.
Сформулируйте определение предела функции двух переменных.
Сформулируйте определение непрерывности функции двух переменных.
Сформулируйте определение частной производной функции двух переменных.
Сформулируйте правило нахождения частных производных функции.
Сформулируйте определение полного дифференциала функции двух переменных.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 137; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!